2020届高考数学一轮总复习 第七单元 不等式与推理证明 第48讲 直接证明与间接证明课件 理 新人

高考总复习第（1）轮理科数学第七单元不等式与推理证明第47讲直接证明与间接证明1．理解综合法和分析法的概念及区别，能熟练地运用它们证题．2．理解反证法的概念，掌握反证法的证题步骤．已知条件和某些数学定义、定理、公理等推理论证1．综合法一般地，利用，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法．综合法是由已知推导出未知的证明方法，又叫顺推证法或由因导果法．可用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Qn⇒Q其中，P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论．2．分析法从要出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，要把证明的结论归结为(已知条件、定义、定理、公理等)．这种证明的方法叫作分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件证明的结论充分条件判定一个明显成立的条件3．反证法一般地，假设，经过，最后得出，因此说明，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫作反证法．原命题的结论不成立正确的推理矛盾假设错误1．下面的两个不等式：①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②3＋222＋7.其中恒成立的有()A．只有①B．只有②C．①和②D．①和②都不成立解：①成立．用综合法证明：a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，三式相加除2即得；②成立．用分析法证明：要证3＋222＋7，只需证(3＋22)2(2＋7)2，即证11＋4611＋47，即证67，即证67，而67成立，所以原不等式成立．故选C.答案：C2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－a4＋b42≤0C.a＋b22－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0解：用分析法证明不等式，每一步都是寻找结论成立的充分条件(当然也可是充要条件)，上述A、B、C都是结论成立的必要条件，不是充分条件，D是充要条件．故选D.答案：D3．如果a0，b0，则有()A.b2a2b－aB.b2a≥2b－aC.b2a2b－aD.b2a≤2b－a解：要比较b2a与2b－a的大小，因为a0，即比较b2与2ab－a2的大小，因为a2＋b2≥2ab，所以b2≥2ab－a2，从而b2a≥2b－a.答案：B4．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的反设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解：“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”⇔“方程x3＋ax＋b＝0的实根个数大于或等于1”，因此，要做的反设是方程x3＋ax＋b＝0没有实根．答案：A5．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，则方程f(x)＝0的根的情况为()A．至多有一个实根B．至少有一个实根C．有且只有一个实根D．无实根解：假设方程有两个实根x1，x2，不妨设x1x2，即f(x1)＝f(x2)＝0，又f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，应有f(x1)f(x2)，矛盾，故假设不成立，所以方程至多有一个实根．答案：A综合法分析法反证法考点1·综合法【例1】在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明：由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C.①因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B＝π3.由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，③由余弦定理，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.再由③，得a2＋c2－ac＝ac.即(a－c)2＝0，因此a＝c，从而有A＝C.所以A＝B＝C＝π3.所以△ABC为等边三角形．【变式探究】1．已知数列{an}满足a1＝12，且an＋1＝an3an＋1(n∈N*)．(1)证明数列{1an}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝anan＋1(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，证明Tn16.证明：(1)由已知可得，当n∈N*时，an＋1＝an3an＋1.两边取倒数得，1an＋1＝3an＋1an＝1an＋3，即1an＋1－1an＝3，所以数列{1an}是首项为1a1＝2，公差为3的等差数列．其通项公式为1an＝1a1＋(n－1)×3＝2＋(n－1)×3＝3n－1.所以数列{an}的通项公式为an＝13n－1.(2)由(1)知an＝13n－1，故bn＝an·an＋1＝13n－1·13n＋1－1＝13n－13n－2＝13(13n－1－13n＋2)，故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝13×[(12－15)＋(15－18)＋…＋(13n－1－13n＋2)]＝13(12－13n＋2)＝16－13·13n＋2，因为13n＋20，所以Tn16.点评：综合法又叫顺推法，或者由因导果法，是数学中最常用的证明方法．考点2·分析法【例2】设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：a＋b＋c≤3.证明：要证a＋b＋c≤3，只需证a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca≤3，因为a＋b＋c＝1，只需证ab＋bc＋ca≤1.而ab≤a＋b2，bc≤b＋c2，ca≤a＋c2，上述三式相加得ab＋bc＋ca≤2a＋b＋c2＝1成立，故原不等式成立．【变式探究】2.设a,b,c是△ABC的三边，S是三角形的面积，求证：c2－a2－b2＋4ab≥43S.证明：要证c2－a2－b2＋4ab≥43S.将余弦定理及面积公式代入得，只需证－2abcosC＋4ab≥23absinC，即证2－cosC≥3sinC，即证3sinC＋cosC≤2，即证sin(C＋π6)≤1.而上式成立，所以原不等式成立．点评：分析法是从命题的结论出发，逐步分析使结论成立的充分条件，因此，要特别注意分析法的书写格式．常采用“要证——只需证——而×××成立，故原命题成立”这样的书写格式．考点3·反证法【例3】设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？解：(1)证明：若数列{Sn}是等比数列，则S22＝S1·S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，整理得a21·q＝0，所以a1、q中至少有一个为零，这与{an}是等比数列满足an≠0(n∈N*)和q≠0矛盾．所以假设不成立，所以数列{Sn}不是等比数列．(2)当q＝1时，{an}是常数列，且an≠0(n∈N*)，此时{Sn}为等差数列．当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则，S1，S2，S3成等差数列，即2S2＝S1＋S3，所以2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，整理得a1q(1－q)＝0，因为q≠1，所以a1q＝0，即a1、q中至少有一个为零，这与q≠0，an≠0(n∈N*)矛盾．综上所述，当q＝1时数列{Sn}为等差数列；当q≠1时数列{Sn}不是等差数列．【变式探究】3．已知数列{an}的前n项的和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．解：(1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，所以a1＝1，又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减，得an＋1＝12an，所以{an}是首项为1，公比为12的等比数列，所以an＝12n－1.(2)证明：(反证法)假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(pqr，且p，q，r∈N*)，则2·12q＝12p＋12r，所以2·2r－q＝2r－p＋1.(*)又因为pqr，p，q，r∈R，所以r－q，r－p∈N*，所以(*)式左边是偶函数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，故原命题成立．点评：(1)当遇到“否定性”“唯一性”“无限性”“至多”“至少”等类型的命题时，常用反证法．(2)在证明某些问题时，并不是整个过程都是采用反证法，而是某一小问，或某一结论的解决或某个步骤的解决需要采用反证法，因此，要根据问题的特点适时运用，要多方面、多渠道考虑，提高解决问题的灵活性．1．数学证明常用的方法有直接法和间接法．综合法和分析法是直接证明的常用方法，也是解决数学问题的常用思维方式．当数学问题直接证明比较困难或直接证明无法进行时，可以采用间接证明，间接证明最主要的方法是反证法．2．解决数学问题时常将分析法和综合法联合使用，即“由已知看可知，由所求看需知”，从而达到条件与结论的沟通．分析法一般用于解决问题思路方面的探求，综合法表述简洁，规范．因此，可用分析法寻找解题思路，用综合法书写解题过程．3．用反证法证明数学命题一般步骤：(1)分清命题的条件和结论；(2)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(3)从这个假设出发，经过正确的推理论证，得出矛盾；(4)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．