2020届高考数学一轮总复习 第七单元 不等式与推理证明 第47讲 合情推理与演绎推理课件 理 新人

高考总复习第（1）轮理科数学第七单元不等式与推理证明第47讲合情推理与演绎推理1．理解合情推理的概念，掌握归纳推理与类比推理的方法.2．理解演绎推理的概念，掌握演绎推理的一般形式．3．了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异．特殊部分全部一般结论个别一般某些类似特征特殊1．合情推理(1)归纳推理：由某类事物的对象具有某些特征，推出该类事物的对象都具有这些特征的推理，或者由个别事物概括出的推理．归纳推理是由部分到整体、由到的推理．(2)类比推理：由两类对象具有和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．类比推理是由到的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过，，，，再进行，，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)从的原理出发，推出某个下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，演绎推理是由到的推理．观察分析比较联想归纳类比一般性特殊情况一般特殊(2)三段论是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——；②小前提——；③结论——.已知的一般原理所研究的特殊情况根据一般原理，对特殊情况做出的判断1．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，……根据以上规律，则第四个等式为.解：由前三个的规律，即左边为连续的正整数的立方和，右边为连续的正整数和的平方，可得结论．答案：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)22．用类比的方法填写下表中的空白：等差数列{an}中等比数列{bn}中a3＝a2＋db3＝b2·qa3＋a4＝a2＋a5b3·b4＝b2·b5a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3解：类比得：b1·b2·b3·b4·b5＝b53.答案：b1·b2·b3·b4·b5＝b533．如图(1)有面积关系：S△PA′B′S△PAB＝PA′·PB′PA·PB，则由图(2)有体积关系：VP­A′B′C′VP­ABC＝.解：平面上的面积可类比到空间上的体积．VP­A′B′C′VP­ABC＝13·S△PA′B′·h′13·S△PAB·h＝PA′·PB′·PC′PA·PB·PC.答案：PA′·PB′·PC′PA·PB·PC4．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故此奇数是3的倍数．”上述推理是()A．小前提错B．结论错C．正确的D．大前提错答案：C解：按“三段论”原理知，选C.5．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但推理形式错误D．使用了“三段论”，但小前提错误解：由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的．答案：C归纳推理类比推理合情推理与演绎推理考点1·归纳推理【例1】(2016·石家庄市一模)如图所示的数阵中，用A(m，n)表示第m行的第n个数，则依此规律A(15,2)为()A.2942B.710C.1724D.73102131616110131101151330133011512112131512121……解：由数阵图可以看出每一行的第一个数的分子都是1，分母按3,6,10,15，……排列，从第三行起，每一行第二列的数字都是该数字肩上两个数字之和，A(3,2)＝16＋16，A(4,2)＝16＋16＋110，A(5,2)＝16＋16＋110＋115，……A(n,2)＝16＋16＋110＋115＋…＋2nn＋1，所以A(15,2)＝16＋2(13－14＋14－15＋…＋115－116)＝16＋2(13－116)＝1724.答案：C【变式探究】1.(2016·山东卷)观察下列等式：(sinπ3)－2＋(sin2π3)－2＝43×1×2；(sinπ5)－2＋(sin2π5)－2＋(sin3π5)－2＋(sin4π5)－2＝43×2×3；(sinπ7)－2＋(sin2π7)－2＋(sin3π7)－2＋…＋(sin6π7)－2＝43×3×4；(sinπ9)－2＋(sin2π9)－2＋(sin3π9)－2＋…＋(sin8π9)－2＝43×4×5；……照此规律，(sinπ2n＋1)－2＋(sin2π2n＋1)－2＋(sin3π2n＋1)－2＋…＋(sin2nπ2n＋1)－2＝.解：通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数与序号数相同，是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半；43后面第二个数是第一个数的下一个自然数．由此可归纳得到结果43×n×(n＋1)，即43n(n＋1)．点评：(1)归纳推理的一般步骤：①通过对某些特例的观察、分析和比较，发现它们的相同性质或变化规律；②从已知的相同性质或变化规律中推出一个明确表达的一般性命题．(2)归纳常包括数字归纳和式子归纳，解决这类问题时，需要细心观察，寻找相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列，简单的递推数列等．考点2·类比推理【例2】已知△ABC的三边长为a，b，c，内切圆半径为r，则S△ABC＝12r(a＋b＋c)．类比这一结论有：若三棱锥A­BCD的内切球半径为R，则三棱锥体积VA­BCD＝__________________________________________________.解：类比面积公式S△ABC＝12r(a＋b＋c)的推导方法，以四面体内切球球心向四个顶点引直线将四面体分成四个三棱锥，它们分别以四个面为底面，内切球半径R为高，所以VA­BCD＝13R(S△ABC＋S△ABD＋S△BCD＋S△ACD)．答案：13R(S△ABC＋S△ABD＋S△BCD＋S△ACD)【变式探究】2．若P(x0，y0)在椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程为x0xa2＋y0yb2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P(x0，y0)在双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线方程为.解：设P(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1，P2的切线方程分别是x1xa2－y1yb2＝1，x2xa2－y2yb2＝1，因为P(x0，y0)在这两条切线上，所以x1x0a2－y1y0b2＝1，x2x0a2－y2y0b2＝1，这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线x0xa2－y0yb2＝1上，故切点弦P1P2所在的直线方程为x0xa2－y0yb2＝1.点评：(1)类比推理的一般步骤是：①观察两考察对象的部分类似属性；②推导出两个对象其他类似的属性．(2)类比推理的常见情形有：平面与空间的类比，低维与高维的类比；等差数列与等比数列的类比；数的运算与向量运算的类比；圆锥曲线间的类比等．在进行类比时不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比．考点3·合情推理与演绎推理【例3】设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想出一般性结论，并给出证明．解：f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋131＋3＝331＋3＋131＋3＝33.同理可得f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33.由此猜想f(x)＋f(1－x)＝33.证明：f(x)＋f(1－x)＝13x＋3＋131－x＋3＝13x＋3＋3x3＋3·3x＝13x＋3＋3x33x＋3＝3＋3x33＋3x＝33.【变式探究】3．(1)求证：tan(x＋π4)＝1＋tanx1－tanx，(2)设x∈R且f(x＋1)＝1＋fx1－fx，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．解：(1)证明：tan(x＋π4)＝tanx＋tanπ41－tanxtanπ4＝1＋tanx1－tanx.(2)f(x)是以4为其一个周期的周期函数．因为f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝1＋fx＋11－fx＋1＝1＋1＋fx1－fx1－1＋fx1－fx＝－1fx，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－1fx＋2＝f(x)．所以f(x)是周期函数，且其中一个周期为4.点评：(1)合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜测的结论都要经过进一步的严格证明．(2)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．1．归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明，一般地，考查的个体越多，归纳的结论可靠性越大．2．类比的关键是能把两类对象之间的某种一致性(相似性)确切地表述出来，在学习中要注意通过类比去发现探索新问题．3．归纳推理和类比推理是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论是正确的．