2020届高考数学一轮总复习 第七单元 不等式与推理证明 第44讲 一元二次不等式课件 理 新人教A

高考总复习第（1）轮理科数学第七单元不等式与推理证明第44讲一元二次不等式1．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．2．掌握一元二次不等式的解法．3．会求解简单的分式不等式．1．一元二次不等式的定义只含个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式叫作一元二次不等式．122．一元二次不等式的解集设f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)，则一元二次不等式的解集如下表所示：图象f(x)＝0的根f(x)0的解集f(x)0的解集Δ0有两个不相等的实根x1，x2{x|xx2或xx1}{x|x1xx2}Δ＝0有两个相等的实根x＝－b2a{x∈R|x≠－b2a}∅Δ0无实根R∅3.分式不等式与一元二次不等式的关系(1)x－ax－b0⇔；(2)x－ax－b0⇔；(3)x－ax－b≥0⇔；(4)x－ax－b≤0⇔.(x－a)(x－b)0(x－a)(x－b)01.(2016·江苏卷)函数y＝3－2x－x2的定义域是.解：要使函数有意义，需3－2x－x2≥0，即x2＋2x－3≤0，得(x－1)(x＋3)≤0，即－3≤x≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．答案：[－3,1]2．(经典真题)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝()A．[－2，－1]B．[－1,2)C．[－1,1]D．[1,2)解：因为A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x＜2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]．答案：A3．不等式x－3x＋20的解集为()A．{x|－2x3}B．{x|x－2}C．{x|x－2，或x3}D．{x|x3}解：由x－3x＋20得(x＋2)(x－3)0，解得x3或x－2.答案：C4.不等式ax2＋5x＋c0的解集为{x|13x12}，则a和c的值分别为()A.6,1B.6，－1C.－6,1D.－6，－1解：由题意得a＜0且－5a＝13＋12ca＝13·12⇒a＝－6c＝－1.答案：D5．不等式x2＋mx＋m20恒成立的条件是()A．m2B．m2C．m0或m2D．0m2解：Δ＝m2－4×m20，即m2－2m0，所以0m2.答案：D一元二次不等式的解法简单的分式不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法考点1·一元二次不等式的解法【例1】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为____________．解：(方法1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，当x0时，－x0，所以f(－x)＝x2＋4x，又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－4x(x0)，所以f(x)＝x2－4x，x0，0，x＝0，－x2－4x，x0.①当x0时，由f(x)x，得x2－4xx，解得x5；②当x＝0时，f(x)x，无解；③当x0时，由f(x)x，得－x2－4xx，解得－5x0.综上，f(x)x的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．(方法2：图象法)作出y＝f(x)及y＝x的图象(如图)．当x≥0时，x2－4x＝x，解得x＝0或x＝5.又y＝f(x)与y＝x均为奇函数，所以交点的横坐标分别为－5,0,5.根据图象可得f(x)x的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)【变式探究】1．已知一元二次不等式f(x)0的解集为{x|x－1或x12}，则f(10x)0的解集为()A．{x|x－1或x－lg2}B．{x|－1x－lg2}C．{x|x－lg2}D．{x|x－lg2}解：依题意知f(x)0的解集为{x|－1x12}，所以f(10x)0⇔－110x12，解得xlg12＝－lg2.点评：(1)解一元二次不等式的一般步骤：①将二次项系数化为正；②解相应的方程；③画出相应的函数图象；④写出解集．(2)当f(x)是分段函数时，求f(x)g(x)的解集时，要分段求解，然后再取并集．(3)利用数形结合也是解不等式的重要方法，特别是解有关选择、填空题时要注意灵活运用．考点2·简单的分式不等式的解法【例2】不等式x－2x2＋3x＋20的解集是__________．解：不等式x－2x2＋3x＋20等价于下面的不等式组：(Ⅰ)x－20，x2＋3x＋20，或(Ⅱ)x－20，x2＋3x＋20，解(Ⅰ)得x2，解(Ⅱ)得－2x－1.所以原不等式的解集为(－2，－1)∪(2，＋∞)．答案：(－2，－1)∪(2，＋∞)【变式探究】2．关于x的不等式x＋1≥2x的解集为.解：(方法1)原不等式等价于x＋1－2x≥0⇔x2＋x－2x≥0⇔x0，x2＋x－2≥0或x0，x2＋x－2≤0⇔－2≤x0或x≥1.所以原不等式的解集为[－2,0)∪[1，＋∞)．(方法2：图象法)如图，作出y＝x＋1与y＝2x的图象，由图象可知x＋1≥2x的解集为[－2,0)∪[1，＋∞)．答案：[－2,0)∪[1，＋∞)点评：(1)解分式不等式时，一般要先通过移项、通分、整理成一边是商式，另一边是0的形式，再等价转化为整式不等式(组)的形式进行求解．(2)求解分式不等式常有如下两种等价变形方式：fxgx0⇔fx0，gx0，或fx0，gx0⇔f(x)·g(x)0.前者转化为不等式组，后者转化为整式不等式．考点3·含参数的一元二次不等式的解法【例3】解关于x的不等式x2－x－a(a－1)0.解：原不等式可化为(x＋a－1)(x－a)0，当a－(a－1)，即a12时，则xa或x1－a；当a＝－(a－1)，即a＝12时，则(x－12)20，得x≠12，x∈R；当a－(a－1)，即a12时，则xa或x1－a.综上：当a12时，不等式的解集为{x|x1－a或xa}；当a＝12时，不等式的解集为{x|x≠12，x∈R}；当a12时，不等式的解集为{x|xa或x1－a}．【变式探究】3．设0a1，集合A＝{x∈R|x0}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a0}，D＝A∩B.求集合D(用区间表示)．解：对于方程2x2－3(1＋a)x＋6a＝0，判别式Δ＝9(1＋a)2－48a＝3(a－3)(3a－1)，因为a1，所以a－30.①当13a1时，Δ0，B＝R，所以D＝A＝(0，＋∞)；②当a＝13时，Δ＝0，B＝{x∈R|x≠1}，所以D＝(0,1)∪(1，＋∞)；③当0a13时，Δ0，设方程2x2－3(1＋a)x＋6a＝0的两根为x1，x2且x1x2，则x1＝31＋a－3a－33a－14，x2＝31＋a＋3a－33a－14，B＝{x|xx1或xx2}．因为0a13，所以x1＋x2＝32(1＋a)0，x1x2＝3a0，所以x10，x20，此时，D＝(0，x1)∪(x2，＋∞)＝(0，31＋a－3a－33a－14)∪(31＋a＋3a－33a－14，＋∞)．点评：(1)含参数的一元二次不等式的求解的一般步骤：①
若二次项系数含有参数，则应分类讨论，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．②判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．③确定方程无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集．(2)二次项系数为常数，可先考虑因式分解，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要做到不重不漏．1．一元一次不等式(组)、一元二次不等式的求解要准确、熟练、迅速，这是解其他不等式的基础．利用数轴及二次函数图象是解一元一次不等式(组)、一元二次不等式的常用方法之一．对于二次不等式的求解问题还要注意“三个二次”的相互联系，注意数形结合思想方法的运用．2．解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，然后转化为整式不等式来解；转化时，要注意以下同解原理：(1)不等式fxgx＞0(或＜0)与不等式f(x)g(x)＞0(或＜0)同解；(2)不等式fxgx≥0(或≤0)与不等式组fxgx≥0，gx≠0.(或fxgx≤0，gx≠0)同解．3．注意含参数的不等式分类讨论时，分类要不重不漏．如解含参数t的不等式x2f(t)＋xg(t)＋r(t)＞0(或＜0)，一般需要从三个方面进行讨论求解：一是讨论x2的系数f(t)的取值情况(为正、为负还是为零)；二是讨论Δ的取值情况(为正、为负还是为零)；三是讨论两根的大小(x1＜x2，x1＞x2，还是x1＝x2)．