2020届高考数学一轮总复习 第六单元 数列与算法 第39讲 由递推公式求通项课件 理 新人教A版

高考总复习第（1）轮理科数学第六单元数列与算法第39讲由递推公式求通项1．了解递推公式的意义，知道递推公式及初始条件是给出数列的一种方法．2．掌握几种简单类型的递推公式求通项的方法．1．递推公式如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)(或an＝f(an－1，an－2)等)，那么这个式子就叫作这个数列{an}的递推公式．2．求解递推公式的基本方法(1)求解递推公式的方法比较多，但高考不刻意去考查一些特殊的方法和技巧，而是考查一些基本的方法和化归转化的思想．主要是：①累加法、累乘法．这是推导等差数列、等比数列的通项公式所使用的方法．②转化法：通过变形，采用待定系数法、换元法或给出辅助数列等途径，将递推公式转化为等差数列、等比数列进行求解．③归纳、猜想、证明的方法．先求出数列的前几项，发现规律得到数列通项公式的一个猜想，然后再进行证明．(2)关于含有Sn与an的关系的问题，常转化为只含an(也可转化为只含Sn)的问题，再采用上述方法．1．数列{an}中，an＝an－1＋n(n≥2)，a1＝1，则数列{an}的通项公式为an＝_____________.解：(累加法)因为a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.答案：nn＋122．已知an0，且a1＝1，a2n－a2n－1＝1，则{an}的通项公式an＝____________.解：因为a2n－a2n－1＝1，所以{a2n}是首项为a21＝1，公差为1的等差数列，所以a2n＝1＋(n－1)＝n，因为an0，所以an＝n.答案：n3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋2＝3(an－1＋2)，则数列{an}的通项公式an＝__________.解：由条件知{an＋2}是首项为a1＋2＝3，公比为3的等比数列，所以an＋2＝3·3n－1＝3n.所以an＝3n－2.答案：3n－24．数列{an}中，an＋1＝3an＋2，a1＝1，则数列{an}的通项公式为an＝___________.解：(待定系数法)设an＋1＋λ＝3(an＋λ)，即an＋1＝3an＋2λ，又an＋1＝3an＋2，所以λ＝1，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为3的等比数列，所以an＋1＝2·3n－1.所以an＝2·3n－1－1.答案：2·3n－1－15．若数列{an}的前n项和为Sn＝23an＋13，则数列{an}的通项公式是an＝____________.解：当n＝1时，S1＝23a1＋13，所以a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝23an＋13－(23an－1＋13)＝23(an－an－1)，所以an＝－2an－1，即anan－1＝－2，所以{an}是以1为首项，公比为－2的等比数列，所以an＝1×(－2)n－1，即an＝(－2)n－1.答案：(－2)n－1累加法、累乘法转化法归纳、猜想与证明考点1·累加法、累乘法【例1】已知数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn＝n＋23an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．解：(1)由S2＝43a2，得a1＋a2＝43a2，即a2＝3a1＝3，由S3＝53a3，得a1＋a2＋a3＝53a3，即a3＝32(a1＋a2)＝6.分析：由Sn与an的关系求通项，可利用an与Sn的关系：an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2转化为an的递推关系再求解．(2)n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n＋23an－n＋13an－1，整理得(n－1)an＝(n＋1)an－1，即anan－1＝n＋1n－1，所以an＝a1·a2a1·a3a2·…·anan－1＝1·31·42·53·64·…·nn－2·n＋1n－1＝nn＋12，因为当n＝1时，a1＝1也满足上式．所以{an}的通项公式为an＝nn＋12，n∈N*.【变式探究】1．观察下列三角形数表，设第n行的第二个数为an(n≥2，n∈N*)，122343477451114115………………第1行第2行第3行第4行第5行(1)依次写出第六行的所有6个数字；(2)归纳出an＋1与an的关系式并求出an的通项公式．解：(1)第六行的所有6个数字分别是6,16,25,25,16,6.(2)依题意an＋1＝an＋n(n≥2)，a2＝2.所以an＝a2＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋2＋3＋…＋(n－1)＝2＋n－2n＋12，所以an＝12n2－12n＋1(n≥2)．点评：(1)累加法和累乘法是推导等差数列和等比数列的通项公式时所采用的方法，是递推关系求通项的两种最基本的方法．(2)一般地，若an－an－1＝f(n)，在f(n)可求和的条件下，求an可采用累加法；若anan－1＝g(n)，在g(n)可求积的条件下，求an可采用累乘法．考点2·转化法【例2】根据下面各式的首项和递推关系，求出数列的通项公式．(1)a1＝1，an＋1＝2an＋3，n∈N*；(2)a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*.解：(1)设an＋1－λ＝2(an－λ)，则an＋1＝2an－λ，与an＋1＝2an＋3比较得，λ＝－3.所以an＋1＋3＝2(an＋3)，所以an＋1＋3an＋3＝2，因为a1＝1，所以a1＋3≠0.所以{an＋3}是以a1＋3＝4为首项，公比为2的等比数列．所以an＋3＝4×2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3(n∈N*)．(2)两边同除2n＋1，得an＋12n＋1－an2n＝12，所以an2n是以a12＝12为首项，公差为12的等差数列，所以an2n＝12＋(n－1)×12＝n2，所以an＝n2·2n＝n·2n－1.【变式探究】2．根据递推公式，求出数列的通项公式．(1)a1＝1，an＋1＝2anan＋2；(2)a1＝10，an＋1＝a2n.解：(1)因为1an＋1＝an＋22an＝1an＋12，所以1an是以1a1＝1为首项，公差为12的等差数列，所以1an＝1＋(n－1)×12＝n＋12.所以an＝2n＋1.(2)因为lgan＋1＝2lgan，所以{lgan}是以lga1＝1为首项，2为公比的等比数列，所以lgan＝1·2n－1＝2n－1，所以an＝102n－1.点评：(1)通过对递推关系进行变形转化为等差数列或等比数列是求递推数列通项公式的常用方法．(2)常用的变形方法有：待定系数法、除幂法、取倒数法、取对数法等，要注意根据题目特点，选择合适的变形方法．考点3·归纳、猜想与证明【例3】(2017·蚌埠期末)在数列{an}中，若它的前n项和为Sn＝1－nan(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．解：(1)依题意，S1＝1－a1，即a1＝1－a1，所以a1＝12＝11×2.S2＝1－2a2，即a1＋a2＝1－2a2，所以a2＝16＝12×3.S3＝1－3a3，即a1＋a2＋a3＝1－3a3，所以a3＝112＝13×4.S4＝1－4a4，即a1＋a2＋a3＋a4＝1－4a4，所以a4＝120＝14×5.(2)猜想an＝1nn＋1.证明：①当n＝1时，命题成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即ak＝1kk＋1，当n＝k＋1时，Sk＋1＝1－(k＋1)ak＋1，又Sk＝1－kak＝kk＋1，所以kk＋1＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1，解得ak＋1＝1k＋1k＋2，即n＝k＋1时，命题也成立．由①②可知，命题对n∈N*均成立．【变式探究】3．设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)由Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，及S3＝15得：a1＝2a2－7，a1＋a2＝4a3－20，a1＋a2＋a3＝15.解得a1＝3，a2＝5，a3＝7.(2)由(1)猜想an＝2n＋1.因为Sn＝2nan＋1－3n2－4n，①n≥2时，Sn－1＝2(n－1)an－3(n－1)2－4(n－1)，②①－②得：an＝2nan＋1－2(n－1)an－3[n2－(n－1)2]－4[n－(n－1)]，所以2nan＋1＝(2n－1)an＋6n＋1(n≥2)，所以an＋1＝2n－12nan＋6n＋12n，下面用数学归纳法证明猜想是正确的．(i)当n＝1，n＝2时，由(1)知猜想是正确的．(ii)假设n＝k(k≥2)时，猜想正确，即ak＝2k＋1，则当n＝k＋1时，ak＋1＝2k－12k·(2k＋1)＋6k＋12k＝4k2－1＋6k＋12k＝4k2＋6k2k＝2k＋3＝2(k＋1)＋1，即n＝k＋1时，猜想也成立．由(i)、(ii)可知，猜想对一切n∈N*都成立．故所求数列的通项公式为an＝2n＋1，n∈N*.点评：(1)归纳、猜想、证明是一个完整的思维过程，既需要探求和发现结论，又需要证明所得结论的正确性，是一种十分重要的思维方法．观察特例时要注意项与项数之间的函数关系，关系不明显时要适当变形．由观察归纳、猜想得到的结论，可能是正确的，也有可能是错误的，需要由数学归纳法进行证明．(2)归纳、猜想、证明是由递推公式求通项的一个有效方法，一般来说，当递推公式不是基本类型，也不好转化为等差、等比数列时，可考虑这种方法．1．对于由递推式所确定的数列通项问题，要熟练掌握：an＋1＝an＋f(n)型及an＋1＝f(n)·an型的处理方法．2．要重视“转化法”的运用，通常可通过对递推式的变形转化为等差数列或等比数列加以解决．最常见的类型有：类型1an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)型，数列{an}的首项a1已知，采用“待定系数法”转化为等比数列解决，也称为“构造数列法”．类型2an＋1＝pan＋rqn(pqr≠0)型，数列{an}的首项a1已知，常采用两边“除幂”，利用“构造数列法”求解．类型3an＝kan－1pan－1＋q(k，p，q为常数)，数列{an}的首项a1已知，常采用两边“取倒数”，利用“构造数列法”求解．类型4含Sn与an的递推关系式，常利用an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，消去Sn转化为an的递推关系(或消去an转化为Sn的递推关系)进行求解．3．对给出辅助数列的问题，要充分利用辅助数列，转化为上述类型的递推数列问题进行求解．不能变为上述类型的可以考虑“归纳—猜想—证明”的方法进行求解．