2020届高考数学一轮总复习 第九单元 解析几何 第70讲 圆锥曲线的综合应用（三）课件 理 新人教

高考总复习第（1）轮理科数学第九单元解析几何第70讲圆锥曲线的综合应用(三)(与直线、圆及其他知识的交汇与综合)1．进一步掌握圆锥曲线的基础知识，会综合处理直线、圆与圆锥曲线有关的综合问题．2．提高综合运用知识的能力．1．圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题主要表现在如下两个方面：一是纵向综合，涉及直线与圆锥曲线、圆与圆锥曲线的相互综合，涉及弦长、中点、垂直、对称、轨迹等问题，二是横向综合，重点是函数、方程、不等式、向量、三角等知识的联系．2．思路与方法(1)求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程主要是求a，b，c或p，基本方法是利用定义或待定系数法求解．(2)直线和圆锥曲线的位置关系，可转化为直线和圆锥曲线方程的公共解问题，体现了方程的思想，数形结合、分类整合、化归与转化等也是解决圆锥曲线位置关系以及有关综合问题的常用思想方法．(3)对于横向综合问题，要树立目标意识，注意联想相应知识，充分运用化归与转化的思想方法将不熟悉的问题向熟悉的问题进行转化．1．(经典真题)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝.解：抛物线的准线方程为x＝－p2，p0，双曲线的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，所以－p2＝－2，p＝22.答案：222．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若PA·PB≤20，则点P的横坐标的取值范围是.解：(方法1)因为点P在圆O：x2＋y2＝50上，所以设P点坐标为(x，±50－x2)(－52≤x≤52)．因为A(－12,0)，B(0,6)，所以PA＝(－12－x，－50－x2)或PA＝(－12－x，50－x2)，PB＝(－x,6－50－x2)或PB＝(－x,6＋50－x2)．因为PA·PB≤20，先取P(x，50－x2)进行计算，所以(－12－x)·(－x)＋(－50－x2)(6－50－x2)≤20，即2x＋5≤50－x2.当2x＋5≤0，即x≤－52时，上式恒成立；当2x＋5≥0，即x≥－52时，(2x＋5)2≤50－x2，解－5≤x≤1，故x≤1.同理可得P(x，－50－x2)时，x≤－5.又－52≤x≤52，所以－52≤x≤1.故点P的横坐标的取值范围为[－52，1]．(方法2)设P(x，y)，则PA＝(－12－x，－y)，PB＝(－x,6－y)．因为PA·PB≤20，所以(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，即2x－y＋5≤0.如图，作圆O：x2＋y2＝50，直线2x－y＋5＝0与⊙O交于E，F两点，因为P在圆O上且满足2x－y＋5≤0，所以点P在EDF上．由x2＋y2＝50，2x－y＋5＝0得F点的横坐标为1.又D点的横坐标为－52，所以P点的横坐标的取值范围为[－52，1]．【例1】(经典真题)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A、B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心N(1,0)，半径r2＝3.设动圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4，由椭圆定义知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24＋y23＝1(x≠－2)．(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2.当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2，所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.若l的倾斜角为90°时，l与y轴重合，可得|AB|＝23.若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行x轴，设l与x轴的交点为Q，则|QP||QM|＝Rr1，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l与圆M相切得|3k|1＋k2＝1，解得k＝±24.当k＝24时，将y＝24x＋2代入x24＋y23＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝－4±627，所以|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝187.当k＝－24时，由图形的对称性可知|AB|＝187.综上，|AB|＝23或|AB|＝187.【变式探究】1．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2，由x＝my＋2，y2＝2x，可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.又x1＝y212，x2＝y222，故x1x2＝y1y224＝4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1x1·y2x2＝－44＝－1，所以OA⊥OB，故坐标原点O在圆M上．(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4，故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径r＝m2＋22＋m2.由于圆M过点P(4，－2)，因此AP→·BP→＝0，故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.由(1)可知y1y2＝－4，x1x2＝4，所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－12.当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为10，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.当m＝－12时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为(94，－12)，圆M的半径为854，圆M的方程为(x－94)2＋(y＋12)2＝8516.点评：(1)例1及其变式是解析几何纵向综合问题，考查直线、圆、圆锥曲线的基本知识和综合分析能力．(2)对于直线、圆及圆锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分为基本问题，然后综合利用数形结合的思想、化归与转化的思想、方程的思想等来解决问题，这样可以逐渐增强自己解决综合问题的能力．【例2】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B点在直线y＝－3上，M点满足MB∥OA，MA·AB＝MB·BA，M点的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．解：(1)设M(x，y)，由已知得B(x，－3)，A(0，－1)．所以MA＝(－x，－1－y),MB＝(0，－3－y),AB＝(x，－2)．再由题意可知(MA＋MB)·AB＝0,即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0，即－x2＋4y＋8＝0.所以曲线C的方程为y＝14x2－2.(2)设P(x0，y0)为曲线C：y＝14x2－2上一点，因为y′＝12x，所以l的斜率为12x0，因此直线l的方程为y－y0＝12x0(x－x0)，即x0x－2y＋2y0－x20＝0.则O点到l的距离d＝|2y0－x20|x20＋4.又y0＝14x20－2，所以d＝12x20＋4x20＋4＝12(x20＋4＋4x20＋4)≥2，当x20＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.【变式探究】2．(2017·浙江卷)如图，已知抛物线x2＝y，点A(－12，14)，B(32，94)，抛物线上的点P(x，y)(－12x32)．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．解：(1)设直线AP的斜率为k，k＝x2－14x＋12＝x－12，因为－12x32，所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP与BQ的方程kx－y＋12k＋14＝0，x＋ky－94k－32＝0，解得点Q的横坐标是xQ＝－k2＋4k＋32k2＋1.因为|PA|＝1＋k2(x＋12)＝1＋k2(k＋1)，|PQ|＝1＋k2(xQ－x)＝－k－1k＋12k2＋1，所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，所以f(k)在区间(－1，12)上单调递增，(12，1)上单调递减，因此当k＝12时，|PA|·|PQ|取得最大值2716.点评：(1)例2及其变式属于横向综合问题，其特点是跨模块进行综合，主要有两种形式：一是命题内容上进行横向综合，如例2，综合了平面向量，轨迹方程等不同模块之间的内容；二是知识运用上的横向综合，即在求解过程中，不仅要运用解析几何中知识方法，还需要综合运用其他模块的知识和方法．如例2及其变式，在求解过程中，还要综合运用导数、函数、不等式等知识．这类综合问题，着重考查考生综合运用知识的能力和分析问题、解决问题的能力及运算求解能力．(2)对于跨模块的综合问题，要认真审题，将问题逐步进行分解，然后联想相应问题的处理方法，各个击破，问题可迎刃而解．(3)抛物线x2＝±2py，既可看作圆锥曲线，同时也可作为二次函数，它是函数与解析几何的一个交汇点，研究其切线时，要主动地联想导数的方法．此外，导数是处理最值的问题的最一般的方法．1．处理直线、圆及其他知识与圆锥曲线的综合交汇问题，关键是审清题意，将其分解为基本问题进行处理，在处理这类综合问题时，既要注意相关知识的灵活运用，还要注意总结一些常用的方法与技巧．2．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线、圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及函数、方程、不等式、平面几何等许多知识，可以有效地考查函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和化归转化的思想，因此，这一部分内容也成为了高考的热点和重点．