2020届高考数学一轮总复习 第九单元 解析几何 第67讲 直线与圆锥曲线的位置关系课件 理 新人教

高考总复习第（1）轮理科数学第九单元解析几何第67讲直线与圆锥曲线的位置关系1．掌握判定直线与圆锥曲线位置关系的基本方法．2．会处理直线与圆锥曲线相交所得弦长、中点等有关问题．1．直线与圆锥曲线位置关系的判定设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线E的方程为f(x，y)＝0，由Ax＋By＋C＝0，fx，y＝0.消元(x或y)如消去y后，得ax2＋bx＋c＝0.(注意：若f(x，y)＝0表示椭圆，则方程中a≠0)，为此有：(1)若a≠0，Δ＝b2－4ac，①Δ＞0时，直线与圆锥曲线；②Δ＝0时，直线与圆锥曲线；③Δ＜0时，直线与圆锥曲线.(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线的位置关系是；②当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴的位置关系是.相交相切相离平行平行或重合2．弦长公式设直线与圆锥曲线相交于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．(1)|P1P2|＝；(2)当直线方程写成y＝kx＋b(k∈R)形式时，其弦长①用x1、x2表示为：|P1P2|＝；②用y1、y2表示为：|P1P2|＝.3．弦的中点的求法将直线代入圆锥曲线方程整理得一元二次方程，由韦达定理求得中点的一个坐标，再代入方程求得另一个坐标．直线1．直线x－2y＋2＝0与椭圆x24＋y2＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不能确定解：(方法一：代数法)由方程组x－2y＋2＝0，x24＋y2＝1，消去y得x2＋2x＝0，Δ0，方程有两解，可知直线与椭圆相交．(方法二：数形结合法)画出图形，可知直线与椭圆相交．答案：A2．直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：直线与抛物线只有一个公共点⇒/直线与抛物线相切，如y＝1与y2＝2x只有一个公共点，但此时是相交的．反之，若直线与抛物线相切，则直线与抛物线只有一个公共点．所以直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．答案：B3．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝()A.45B.35C．－35D．－45解：解方程组y2＝4x，y＝2x－4，得A，B两点的坐标为A(4,4)，B(1，－2)，又F(1,0)，所以FA→＝(3,4)，FB→＝(0，－2)，所以cos∠AFB＝FA→·FB→|FA→|·|FB→|＝－85×2＝－45.答案：D4．斜率为1的直线过椭圆x2a2＋y2b2＝1的左焦点，且与椭圆的交点A、B的横坐标分别为－3和1，则|AB|＝.解：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝2|－3－1|＝42.答案：425．已知直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A、B两点，那么线段AB中点的坐标是.解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点坐标为(x0，y0)，将x＝y＋2代入y2＝4x，得y2－4y－8＝0，则y1、y2是此方程的两根，所以y0＝y1＋y22＝2，将y0＝2代入直线方程得x0＝y0＋2＝4，所以AB中点的坐标为(4,2)．答案：(4,2)直线与圆锥曲线的位置关系与弦的中点有关的问题弦长问题考点1·直线与圆锥曲线的位置关系【例1】过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个公共点的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条解：(方法一：代数法)若斜率k存在，设直线方程为y＝kx＋1，由y＝kx＋1，y2＝x，消去x得ky2－y＋1＝0.当k＝0时，y＝1，此时x＝1，直线与抛物线有且只有一个公共点(1,1)；当k≠0时，Δ＝1－4k＝0，k＝14，此时直线与抛物线相切，有一个公共点(4,2)；若斜率k不存在，此时直线x＝0与抛物线相切，直线与抛物线有一个公共点(0,0)．综上可知所求直线有3条．(方法二：数形结合法)画出满足条件的图形，如图：由图象可知满足条件的直线有3条，其中一条平行对称轴，两条为抛物线的切线．答案：C【变式探究】1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM·FN＝()A．5B．6C．7D．8解：由题意知直线MN的方程为y＝23(x＋2)，联立直线与抛物线的方程，得y＝23（x＋2），y2＝4x，解得x＝1，y＝2或x＝4，y＝4.不妨设M为(1，2)，N为(4，4)．又因为抛物线焦点为F(1，0)，所以FM＝(0，2)，FN＝(3，4)．所以FM·FN＝0×3＋2×4＝8.点评：(1)研究直线与圆锥曲线的交点个数，可转化为方程组的解的个数的讨论，但应注意对于抛物线(或双曲线)而言，当直线平行于对称轴(或双曲线的渐近线)时，其交点只有一个，此时相应方程为一次方程，直线与圆锥曲线的位置关系属相交的情况．(2)数形结合是研究直线与二次曲线位置关系的有效方法，直观、形象，对处理有关选择题、填空题效果尤佳．考点2·与弦的中点有关的问题【例2】(经典真题)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB中点的坐标为(1，－1)，则E的方程为（）A.x245＋y236＝1B.x236＋y227＝1C.x227＋y218＝1D.x218＋y29＝1解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2＋y21b2＝1，①x22a2＋y22b2＝1，②①－②得x1＋x2x1－x2a2＝－y1－y2y1＋y2b2，所以y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2.因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，所以kAB＝b2a2.而kAB＝0－－13－1＝12，所以b2a2＝12，所以a2＝2b2，所以c2＝a2－b2＝b2＝9，所以b＝c＝3，所以a＝32.所以E的方程为x218＋y29＝1.答案：D【变式探究】2．过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于.解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2＋y21b2＝1，①x22a2＋y22b2＝1，②①－②得x1－x2x1＋x2a2＋y1－y2y1＋y2b2＝0，根据题意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且y1－y2x1－x2＝－12，所以2a2＋2b2×(－12)＝0，所以a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2，所以ca＝22，即e＝22.答案：22点评：弦的中点问题，往往采用“设而不求”的策略．一般利用韦达定理表示中点的坐标或利用“点差法”进行求解．“点差法”其关键步骤是“设点”和“作差”．首先设出交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程；通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立起中点坐标与斜率的关系．已知AB是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一条弦，弦中点M坐标为(x0，y0)(y0≠0)，则kAB＝－b2x0a2y0（kAB·kOM＝－b2a2）；已知AB是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条弦，中点M(x0，y0)(y0≠0)，则kAB＝b2x0a2y0（kAB·kOM＝b2a2）；已知抛物线y2＝2px(p0)的弦AB的中点M(x0，y0)(y0≠0)，则kAB＝py0.考点3·弦长问题【例3】已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)经过点(0，3)，离心率为12，左右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y＝－12x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足|AB||CD|＝534，求直线l的方程．解：(1)由题意可得b＝3，ca＝12，b2＝a2—c2，解得a＝2，b＝3，c＝1.所以椭圆的方程为x24＋y23＝1.(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.所以圆心到直线l的距离为d＝2|m|5，由d1，即2|m|51，可得|m|52.所以|CD|＝21－d2＝21－4m25＝255－4m2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y＝－12x＋m，x24＋y23＝1，得x2－mx＋m2－3＝0，由根与系数的关系得：x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3，所以|AB|＝[1＋－122][m2－4m2－3]＝1524－m2.因为|AB||CD|＝534，所以4－m25－4m2＝1，解方程得m＝±33，且满足|m|52.所以直线l的方程为y＝－12x＋33或y＝－12x－33.【变式探究】3.(2016·全国卷Ⅰ)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．解：(1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0)．(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由y＝kx－1，x24＋y23＝1得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝8k24k2＋3，x1x2＝4k2－124k2＋3.所以|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝12k2＋14k2＋3.过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－1k(x－1)，点A到直线m的距离为2k2＋1，所以|PQ|＝242－2k2＋12＝44k2＋3k2＋1.故四边形MPNQ的面积S＝12|MN||PQ|＝121＋14k2＋3.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,83)．当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，故四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83)．点评：(1)弦长问题常用以下弦长公式进行求解：|P1P2|＝1＋k2|x1－x2|；|P1P2|＝1＋1k2|y1－y2|.其中|x1－x2|与|y1－y2|的求法通常用韦达定理，需要作如下变形：|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2；|y1－y2|＝y1＋y22－4y1y2.(2)以上求弦长是一般方法．当直线过特殊点(如抛物线的焦点)或曲线是特殊曲线(如曲线是圆)时，求其弦长时要利用其特殊性．①抛物线y2＝2px的焦点弦|P1P2|＝x1＋x2＋p.②直线截圆的弦长|P1P2|＝2r2－d2.1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定可以转化为相应方程组的解来讨论，同时要注意数形结合思想方法的运用．(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交；(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．(3)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总