2020届高考数学一轮总复习 第九单元 解析几何 第65讲 抛物线课件 理 新人教A版

高考总复习第（1）轮理科数学第九单元解析几何第65讲抛物线1．了解抛物线的定义．2．会求抛物线的标准方程．3．知道抛物线的简单几何性质．4．明确字母p的含义．1．抛物线的定义平面内与定点F和定直线l的的点的轨迹叫作抛物线(定点F不在定直线l上)，定点F叫作抛物线的，定直线l叫作抛物线的.焦点距离相等准线2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴顶点O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)焦点F(p2，0)F(－p2，0)F(0，p2)F(0，－p2)准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2离心率e＝1e＝1e＝1e＝11．抛物线y2＝2px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点F(p2，0)的距离|PF|＝x0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．y2＝ax的焦点坐标为(a4，0)，准线方程为x＝－a4.3．设AB是过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，其长度等于2p，通径是过焦点最短的弦．1．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆C的圆心的轨迹为()A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆解：动圆圆心C到定点(0,3)的距离与到定直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的定义，故所求轨迹为抛物线．答案：A2．抛物线y＝14x2的准线方程是()A．y＝－1B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－2解：由y＝14x2，得x2＝4y，焦点在y轴的正半轴上，且2p＝4，所以p＝2.因此准线方程为y＝－p2＝－1.答案：A3．准线方程为x＝3的抛物线的标准方程为()A．y2＝－6xB．y2＝－12xC．y2＝6xD．y2＝12x解：由准线为x＝3，知抛物线的焦点在x轴的负半轴，排除C和D；又x＝p2＝3，得p＝6，所以方程为y2＝－12x.答案：B4．抛物线x2＝4y上一点P到焦点F的距离为3，则P点的纵坐标为()A．3B．2C．52D．－2解：设P的坐标为(x1，y1)，因为抛物线的准线方程为y＝－1，由抛物线定义有y1＋1＝3，所以y1＝2.答案：B5.(2018·济南一模)如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝()A．n＋10B．n＋20C．2n＋10D．2n＋20解：由抛物线的定义可知|PiF|＝xi＋p2＝xi＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝10＋n.答案：A抛物线的定义及应用抛物线的标准方程抛物线焦点弦的性质考点1·抛物线的定义及应用【例1】(1)(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.(2)已知抛物线y2＝2x的焦点为F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，则|PA|＋|PF|的最小值为__________，此时P点的坐标为__________．解：(1)如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，所以PM∥OF.由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.因为点M为FN的中点，PM∥OF，所以|MP|＝12|FO|＝1.即M的横坐标为xM＝1，由抛物线的定义知|MF|＝xM＋p2＝1＋2＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.(2)由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题转化为|PA|＋d的问题．将x＝3代入抛物线y2＝2x，得y＝±6.因为62，所以A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P点的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.所以点P的坐标为(2,2)．答案：(1)A(2)72(2,2)【变式探究】1．(1)(经典真题)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A、B两点，则|AB|＝()A．303B．6C．12D．73(2)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．2B．3C．115D．3716解：(1)焦点F的坐标为(34，0)，直线AB的斜率为33，所以直线AB的方程为y＝33(x－34)．即y＝33x－34，代入y2＝3x，得13x2－72x＋316＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝212，所以|AB|＝x1＋x2＋32＝212＋32＝12.(2)抛物线的焦点为F(1,0)，准线为l2：x＝－1，所以抛物线上的点P到l2的距离等于它到焦点F的距离，要使P到直线l1和l2的距离之和最小，即|PF|与P到l1的距离之和最小，所以最小距离为F到l1的距离d＝1016＋9＝2，选A.答案:(1)C(2)A点评：(1)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可互相转化．这一转化在解题中有着重要作用．由此可得到两个常用结论：①对于抛物线y2＝2px(p0)，若P(x0，y0)是抛物线上任一点，有|PF|＝x0＋p2.②对于抛物线y2＝2px(p0)，若过F的弦的两端点A(x1，y1)，B(x1，y1)，则|AB|＝x1＋x2＋p.(2)抛物线的定义是高考命题热点，与定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等问题．考点2·抛物线的标准方程【例2】抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，抛物线上一点R与焦点F连线的中点为M(－5,4)，则抛物线方程为__________________．解：设抛物线方程为y2＝－2px(p0)，R(x0，y0)．则x0－p22＝－5，y0＋02＝4，所以x0＝－10＋p2，y0＝8.代入抛物线方程得64＝－2p(－10＋p2)，即p2－20p＋64＝0，解得p＝4或16.故所求抛物线方程为y2＝－8x或y2＝－32x.答案：y2＝－8x或y2＝－32x【变式探究】2．(经典真题)设抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x解：设M(x0，y0)，A(0,2)，MF的中点为N.由y2＝2px，得F(p2，0)，所以N的坐标为(x0＋p22，y02)．由抛物线的定义知，x0＋p2＝5，所以x0＝5－p2，所以y0＝2p5－p2.因为|AN|＝|MF|2＝52，所以|AN|2＝254.所以(x0＋p22)2＋(y02－2)2＝254.所以2p5－p22－2＝0.整理得p2－10p＋16＝0.解得p＝2或p＝8，所以抛物线方程为y2＝4x或y2＝16x.答案：C点评：求抛物线方程的基本方法是待定系数法，其基本程序是“先定型，后计算”．具体求解时，要注意不同的开口方向对应不同的标准方程，准确设出方程的待定形式，然后根据条件确定其中的系数．考点3·抛物线焦点弦的性质【例3】已知AB是抛物线y2＝2px(p0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24；(2)1|AF|＋1|BF|为定值．证明：(1)因为y2＝2px(p0)的焦点F(p2，0)，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－p2)(k≠0)，由y＝kx－p2，y2＝2px，消去x，得ky2－2py－kp2＝0，①所以y1y2＝－p2，x1x2＝y1y224p2＝p24，当k不存在时，直线AB的方程为x＝p2，此时y1＝p，y2＝－p.则y1y2＝－p2，x1x2＝p24.因此，总有y1y2＝－p2，x1x2＝p24成立．(2)因为1|AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2＝x1＋x2＋px1·x2＋p2x1＋x2＋p24.因为x1·x2＝p24，代入上式得1|AF|＋1|BF|＝2p，为定值．【变式探究】3．(2017·全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的交点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D，E两点，|AB|＋|DE|的最小值为()A．16B．14C．12D．10解：(方法1)设AB倾斜角为θ.作AK1垂直准线，AK2垂直x轴，垂点分别为K1，K2.易知|AF|·cosθ＋|GF|＝|AK1|几何关系，|AK1|＝|AF|抛物线特性，|GF|＝p2－－p2＝p，所以|AF|·cosθ＋p＝|AF|，所以|AF|＝p1－cosθ，同理，|BF|＝p1＋cosθ，所以|AB|＝2p1－cos2θ＝2psin2θ，又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为π2＋θ，|DE|＝2psin2π2＋θ＝2pcos2θ，而y2＝4x，即p＝2.所以|AB|＋|DE|＝2p(1sin2θ＋1cos2θ)＝4sin2θ＋cos2θsin2θcos2θ＝4sin2θcos2θ＝414sin22θ＝16sin22θ≥16，当θ＝π4时取等号．即|AB|＋|DE|的最小值为16.(方法2)(利用焦点弦长求|AB|)易知，直线l1的斜率存在，设y＝k(x－1)，由y2＝4x，y＝kx－1，消去x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝2k2＋4k2，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝4k2＋4.同理|DE|＝4k2＋4.所以|AB|＋|DE|＝4(1k2＋k2)＋8≥4×2＋8＝16.当且仅当k2＝1，即k＝±1时，取“＝”．所以|AB|＋|DE|的最小值为16.点评：(1)与焦点弦有关的性质的证明一般都是通过代数推理完成，常利用韦达定理及抛物线的定义．(2)以下是抛物线焦点弦的几种常用结论：设AB过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：①x1x2＝p24，y1y2＝－p2；②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．③1|FA|＋1|FB|＝2p；④以弦AB为直径的圆与准线相切．1．利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一转化关系使解题更简便．要注意灵活运用定义解题．2．求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可以先根据题目的条件作出草图，先确定方程的形式，再求参数p的值．3．抛物线的焦半径：抛物线上一点P(x0，y0)与焦点F的连线称为抛物线的焦半径．抛物线标准方程的形式不同，其焦半径公式的表达形式也不同，对应于抛物线的4种形式的标准方程其焦半径公式分别为(p0)：y2＝2px，|PF|＝x0＋p2；y2＝－2px，|PF|＝－x0＋p2；x2＝2py，|PF|＝y0＋p2；x2＝－2py，|PF|＝－y0＋p2.4．抛物线y2＝2px(p0)的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)|AB|＝x1＋x2＋p.(2)x1·x2＝p24，y1·y2＝－p2.