2020届高考数学一轮总复习 第九单元 解析几何 第62讲 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理 新人

高考总复习第（1）轮理科数学第九单元解析几何第62讲直线与圆、圆与圆的位置关系1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．2．能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系．3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．d＞rd＝rd＜rΔ＜0Δ＝0Δ＞01．直线与圆的位置关系将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设判别式为Δ，圆心C到直线的距离为d，则直线与圆的位置关系可由下表进行判定：位置关系相离相切相交几何法代数法2．圆与圆的位置关系利用圆心距与两圆半径的大小关系来判别两圆的位置关系，设圆心距为d，两圆半径为R、r，且R＞r.则它们的位置关系可由下表来判定：位置关系外离外切判定方法位置关系相交判定方法位置关系内切内含判定方法R＋r＜dR－r＜d＜R＋rd＝R－rR＋r=dd＜R－r1．圆的切线的有关结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2；(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；(3)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A、B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2；(4)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)外一点P(x0，y0)引圆的两条切线，切点为T，则切线长为|PT|＝x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F.2．直线与圆相交所得弦长的计算直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有l＝2r2－d2.3．两圆相交的公共弦方程将两圆方程(x2，y2的系数相同)相减，所得到的方程就是两圆公共弦所在的直线方程．1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为()A．相切B．相交但不过圆心C．直线过圆心D．相离解：因为圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝12＝22，而0221，所以直线和圆相交，但不过圆心．答案：B2．直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于()A.3或－3B．－3或33C．－33或3D．－33或33解：圆方程即为(x－1)2＋y2＝3，因直线与圆相切，所以|3＋m|2＝3，解得m＝3或－33，选C.答案：C3．(经典真题)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0解：因为所求直线与直线2x＋y＋1＝0平行，所以设所求的直线方程为2x＋y＋m＝0.因为所求直线与圆x2＋y2＝5相切，所以|m|1＋4＝5，所以m＝±5.即所求的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.答案：A4．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切解：O1(1,0)，r1＝1，O2(0,2)，r2＝2，又|O1O2|＝12＋22＝5，所以r2－r1|O1O2|r1＋r2，故两圆相交．答案：B5.若两圆C1：x2＋y2＝1，C2：(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝.解：当两圆外切时，C1C2＝a2＋16＝5＋1，所以a＝±25，当两圆内切时，C1C2＝a2＋16＝5－1，所以a＝0.所以a＝±25或0.答案：±25或0直线与圆的位置关系有关弦长问题圆与圆的位置关系考点1·直线与圆的位置关系【例1】过点M(2,4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，则切线方程为____________．解：因为(2－1)2＋(4＋3)21，所以M在圆外．若切线的斜率存在，设过M的切线斜率为k，则切线方程为y－4＝k(x－2)．由已知，有|k＋3＋4－2k|k2＋1＝1，所以k＝247.故切线方程为y－4＝247(x－2)．又切线斜率不存在时，直线x＝2也满足条件．故所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2.答案：24x－7y－20＝0或x＝2【变式探究】1．(经典真题)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－53或－35B．－32或－23C．－54或－45D．－43或－34解：点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.因为反射光线与圆相切，所以d＝|－3k－2－2k－3|k2＋1＝1，解得k＝－43或k＝－34，故选D.答案:D点评：(1)求圆的切线方程常用方法是待定系数法，即先设出切线方程，再由相切的条件确定其中的参数值．(2)过某一点求圆的切线方程，一般要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点，切线只有一条；若在圆外，切线应该有两条．设切线的点斜式方程时，需注意斜率不存在的情况．考点2·有关弦长问题【例2】(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________．解：(方法1)由221,230,yxxyy得x2＋2x＝0，设A，B的横坐标分别为x1，x2，则x1＝0，x2＝－2.所以|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋12|0＋2|＝22.(方法2)由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.所以圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝|1＋1|2＝2，所以|AB|＝2r2－d2＝24－2＝22.答案：22【变式探究】2．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝.解：由直线l：mx＋y＋3m－3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O到直线l的距离为d＝|3m－3|m2＋1.由|AB|＝23得(3m－3m2＋1)2＋(3)2＝12，解得m＝－33.又直线l的斜率为－m＝33，所以直线l的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝π6.在Rt△CDE中，可得|CD|＝|AB|cosα＝23×23＝4.点评：(1)求直线与圆相交所得弦长，主要有两种方法——代数方法与几何方法：代数方法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝1＋k2|x1－x2|；几何方法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.(2)由于几何法抓住了圆的特性，故涉及圆的弦长问题时，一般采用几何法．考点3·圆与圆的位置关系【例3】(2017·安徽芜湖六校联考)在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使MA＝2MO，则圆心C的横坐标a的取值范围是()A．[0，125]B．[0,1]C．[1，125]D．(0，125)解：因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设M(x，y)，由MA＝2MO，得x2＋y－32＝2x2＋y2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4.所以M在以D(0，－1)为圆心，2为半径为圆上．依题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，即1≤a2＋2a－32≤3，由a2＋2a－32≥1得5a2－12a＋8≥0，解得a∈R；由a2＋2a－32≤3得5a2－12a≤0，解得0≤a≤125.所以C的横坐标a的取值范围为[0，125]．答案：A【变式探究】3．(2017·广东五校协作体一模)两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4bx－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则1a2＋1b2的最小值为.解：将x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4bx－1＋4b2＝0化为标准方程得(x＋a)2＋y2＝4，x2＋(y－2b)2＝1，依题意两圆相外切，所以a2＋4b2＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9.所以1a2＋1b2＝(a29＋4b29)(1a2＋1b2)＝19＋a29b2＋4b29a2＋49≥59＋2a29b2×4b29a2＝1，当且仅当a29b2＝4b29a2，即a2＝2b2时等号成立，所以1a2＋1b2的最小值为1.点评：(1)两圆的位置关系常转化为两圆半径与圆心距的关系来研究．(2)例3及其变式的难点在于转化为圆与圆的位置进行研究，例3中，关键是理解“圆C上存在M，使MA＝2MO⇔M是圆C与圆D的公共点”，变式3中“两圆恰有三条公切线⇔两圆相外切”．1．处理直线与圆、圆与圆的位置关系问题，一般有代数法和几何法两种，由于用几何法处理抓住了圆的几何特征，因此常常要比代数法简捷些．如利用圆的弦长公式：l＝2R2－d2(R表示圆的半径，d表示弦心距)，由于抓住了半弦长、半径及弦心距这三条线段构成直角三角形这一特点，因此利用这一公式求弦长比用代数法求弦长要方便．2．处理直线与圆、圆与圆的位置关系，要全面地考虑各种位置关系，防止漏解，如设切线为点斜式，要考虑斜率不存在的情况是否合乎要求，两圆相切应考虑外切和内切两种情况．3．研究圆的有关问题要注意数形结合，充分利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直于经过切点的半径”“两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线”等，寻找解题途径，简化运算．