2020届高考数学一轮总复习 第九单元 解析几何 第60讲 两直线的位置关系课件 理 新人教A版

高考总复习第（1）轮理科数学第九单元解析几何第60讲两直线的位置关系1．掌握两条直线相交的判定及交点坐标的求法．2．能判定两条直线平行或垂直．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线的平行与垂直已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：(1)l1∥l2⇔；(2)l1与l2相交⇔；(3)l1⊥l2⇔.对于斜率不存在的情况，可以根据图形进行判断，若两条不重合直线的斜率都不存在，则这两条直线；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则这两条直线.k1＝k2且b1≠b2k1≠k2k1·k2＝－1平行垂直2．两直线的交点两条直线l1和l2的交点坐标可以由两直线方程联立方程组l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2：A2x＋B2y＋C2＝0求得．3．距离公式(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式：|P1P2|＝；(2)点到直线的距离公式：设点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0，P到l的距离为d，则有d＝；(3)两条平行直线间的距离公式：设两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0和l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，它们之间的距离为d，则有d＝.4．有关对称问题(1)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为.(2)点(x，y)关于x轴、y轴、原点、直线y＝x、直线y＝－x的对称点分别为、、、、(－y，－x)．(x，－y)(－x，y)(－x，－y)(y，x)(2a－x,2b－y)(3)点P(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点Q(x′，y′)满足方程组：Ax0＋x′2＋By0＋y′2＋C＝0，Bx′－x0－Ay′－y0＝0.1．已知点A(－1,3)和直线l：x－2y＋3＝0.(1)过A且平行于l的直线方程为；(2)过A且垂直于l的直线方程为.解：(1)因为l的斜率为kl＝12，所求直线与已知直线平行，所以所求直线的斜率k＝12，由点斜式得y－3＝12(x＋1)，即x－2y＋7＝0.(2)所求直线的斜率k＝－2，由点斜式可得所求直线方程为2x＋y－1＝0.答案：x－2y＋7＝02x＋y－1＝02．若直线y＝kx＋3过直线2x－y＋1＝0与y＝x＋5的交点，则k＝.解：解方程组2x－y＋1＝0，y＝x＋5，得交点(4,9)，将x＝4，y＝9代入y＝kx＋3，得k＝32.答案：323．已知3x＋4y－12＝0，则x2＋y2的最小值为.解：x2＋y2＝x－02＋y－02可以看成点(x，y)到点(0,0)的距离，其最小值为原点到直线的距离，d＝|－12|32＋42＝125.答案：1254．两条平行直线l1：2x＋3y＋1＝0与l2：4x＋6y＋1＝0之间的距离为.解：由于l1：2x＋3y＋1＝0与l2：2x＋3y＋12＝0平行，所以d＝|C1－C2|A2＋B2＝1－1222＋32＝1326.答案：13265.(2018·全国卷Ⅲ·文)下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln(1－x)B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x)D．y＝ln(2＋x)解：(方法1)设关于x＝1对称的函数图象上任一点为(x，y)，它关于x＝1的对称点为(2－x，y)在y＝lnx的图象上，所以y＝ln(2－x)．(方法2)函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝a2对称，令a＝2，可得与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是函数y＝ln(2－x)的图象．答案：B两直线位置关系的判定距离公式的应用对称问题考点1·两直线位置关系的判定【例1】已知两直线l1：x＋my－2m－2＝0，l2：mx＋y－1－m＝0.(1)若l1∥l2，则m＝__________；(2)若l1⊥l2，则m＝__________.解：(1)当m＝0时，显然不满足l1∥l2，当m≠0时，k1＝－1m，k2＝－m，所以－1m＝－m，解得m＝1或m＝－1.当m＝1时，l1：x＋y＝4，l2：x＋y－2＝0，l1∥l2；当m＝－1时，l1：x－y＝0，l2，－x＋y＝0，l1与l2重合．综上可知，m＝1.分析：l2的斜率存在k2＝－m，但l1的斜率存在与否与m是否为0有关，因此，要对m是否为0进行讨论．(2)若l1⊥l2，当m＝0时，l1：x＝2，l2：y＝1，可知l1⊥l2；当m≠0时，k1·k2＝(－1m)·(－m)＝1≠－1，所以l1与l2不垂直．综上可知，m＝0.答案：(1)1(2)0【变式探究】1．(2018·福建泉州月考)设a，b∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y＋4＝0，显然平行，所以条件具有充分性．若l1∥l2，因为l1的斜率存在，则l2的斜率也存在，所以a≠－1.由k1＝k2，得－a2＝－1a＋1，所以a(a＋1)＝2，解得a＝1或a＝－2.检验均符合题意，所以条件不具有必要性．所以“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充分不必要条件．答案:A点评：(1)判断两直线的位置关系，当直线方程中含有参数时，常常要分斜率是否存在进行讨论，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况．(2)在讨论两直线平行时，要注意验证两直线是否重合．对于斜率不存在是否符合要求，一般可结合图形进行判断．对含参数的问题还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．考点2·距离公式的应用【例2】(2018·陕西榆林模拟)设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为（）A．12，24B．2，22C．2，12D．22，12解：因为a，b是关于x的方程x2＋x＋c＝0的两根，且0≤c≤18时，方程的判别式大于零，所以a＋b＝－1，ab＝c.又两条平行线之间的距离d＝|a－b|12＋12＝|a－b|2，所以d2＝a＋b2－4ab2＝－12－4c2(0≤c≤18)，所以14≤d2≤12，所以12≤d≤22.答案：D【变式探究】2．(2018·广东模拟)已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a0，c0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到直线l的最大距离为3，则12a＋2c的最小值为()A.92B.94C．1D．9解：因为动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a0，c0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0，又Q(4,0)到直线l的最大距离为3，所以4－12＋－m2＝3，解得m＝0，所以a＋c＝2.所以12a＋2c＝12(a＋c)·(12a＋2c)＝12·(52＋c2a＋2ac)≥12(52＋2c2a·2ac)＝94.当且仅当c＝2a＝43时取等号．答案:B点评：(1)运用两平行线间的距离公式时，首先要看x，y的系数是否对应相等；运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般形式．(2)与直线有关的问题，常常要和其他知识进行联系，求解时，要关于挖掘问题的特点，合理联想和转化．考点3·对称问题【例3】已知直线l：x＋2y＋1＝0，l1：x－y－2＝0，求直线l1关于l对称的直线l2的方程．解：(方法1)由x＋2y＋1＝0，x－y－2＝0，得x＝1，y＝－1.即A(1，－1)在直线l2上．l1上取一点(2,0)，设它关于l的对称点为B(x0，y0)，则y0x0－2·－12＝－1，x0＋22＋2·y02＋1＝0，解得x0＝45，y0＝－125，即B(45，－125)在直线l2上．因为kAB＝－125＋145－1＝7，所以l2的方程为y＋1＝7(x－1)，即7x－y－8＝0.(方法2)设P(x，y)为l2上任意一点，它关于l的对称点为P′(x′，y′)必在l1上，且PP′的中点M∈l，PP′⊥l，即x＋x′2＋2·y′＋y2＋1＝0，y－y′x－x′＝2，⇒x′＝153x－4y－2，y′＝－154x＋3y＋4，代入l1的方程可得l2的方程为7x－y－8＝0.【变式探究】3．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于()A．2B．1C．83D．43解：以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0.设P(t,0)(0t4)，由对称知识可得P关于BC所在直线的对称点P1的坐标为(4,4－t)，点P关于y轴的对称点P2的坐标为(－t,0)，根据反射定律可知P1P2所在直线就是光线RQ所在直线．由P1、P2两点可知P1P2所在直线的方程为y＝4－t4＋t(x＋t)．设△ABC的重心为G，易知G(43，43)．因为重心G在光线RQ上，所以有43＝4－t4＋t(43＋t)，即3t2－4t＝0，所以t＝0或t＝43.因为0t4，所以t＝43，即AP＝43.答案:D点评：(1)在轴对称问题中，点关于直线的对称是最基本、最重要的对称，处理这种对称问题要紧扣对称的定义，抓住如下两点：①已知点与其对称点的连线与对称轴垂直；②已知点与其对称点为端点的线段的中点在对称轴上．(2)例3中两种解法是解这类问题的基本解法，其中解法一抓住了直线与直线对称的特点，解法二具有一般性．1．研究两直线的平行、垂直关系时，要注意斜率存在和斜率不存在这两种情况，对于斜率不存在的情况，可结合图形直接得解；在两条直线l1、l2斜率都存在，且均不重合的条件下，才有l1∥l2⇔k1＝k2与l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.2．运用公式d＝|C1－C2|A2＋B2求两平行直线之间的距离时，要注意把x，y的系数化成对应相等；而运用点到直线的距离公式时，要注意将直线方程化为一般式．3．对称问题一般是将直线与直线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法(代入法)进行求解．求解的关键是抓住对称的两个特征：垂直与平分．