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高考总复习第（1）轮理科数学第九单元解析几何第59讲直线的方程1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．向上的方向正向0°[0°，180°)正切值tanα不存在1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴与直线l之间所成的角α叫作直线l的倾斜角，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.(2)倾斜角的取值范围是.2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的叫作这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝，倾斜角是90°的直线，它的斜率.(2)经过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.3．直线的截距直线与x轴交点的叫作直线在x轴上的截距；直线与y轴交点的叫作直线在y轴上的截距．横坐标纵坐标4．直线方程的五种形式名称方程形式适用范围点斜式不垂直于轴斜截式不垂直于轴两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不垂直于截距式xa＋yb＝1不垂直于，且不过一般式Ax＋By＋C＝0A2＋B2≠0y－y1＝k(x－x1)y＝kx＋bx坐标轴原点x坐标轴5.特殊位置的直线方程(1)与x轴重合的直线方程为；(2)与y轴重合的直线方程为；(3)经过点(a，b)且平行于x轴的直线方程为；(4)经过点(a，b)且平行于y轴的直线方程为；(5)过原点且斜率为k的直线方程为.y＝0x＝0y＝bx＝ay＝kx6.中点坐标公式、重心坐标公式(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点的中点为M(x，y)，则x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.(2)设△ABC的三个顶点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，△ABC的重心为G(x，y)，则x＝x1＋x2＋x33，y＝y1＋y2＋y33.1．直线3x－y＋a＝0的倾斜角为()A．30°B．60°C．150°D．120°解：因为k＝tanα＝3，又α∈[0°，180°)，所以α＝60°.答案：B2．下列说法中，正确的是()A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanαB．直线的斜率为tanθ，则此直线的倾斜角为θC．若直线的倾斜角为α，则sinα0D．任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率解：对于A，当α＝90°时，tanα不存在；对于B，斜率为tanθ，但θ不一定为倾斜角；对于C，当倾斜角α＝0°时，sinα＝0；对于D，任一直线都有倾斜角，倾斜角为90°时，没有斜率，正确．答案：D3．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是()A．－32B．－23C.25D．2解：(方法1)先求出斜率k，用点斜式写出方程，再求截距．因为k＝9－13－－1＝2，又直线过点(－1,1)，由点斜式方程得y－1＝2(x＋1)，即2x－y＋3＝0，令y＝0，得x＝－32.(方法2)直接由两点式得方程，再求截距．由两点式得y－19－1＝x＋13＋1，即y＝2x＋3，令y＝0，得x＝－32.答案：A4．如果A·C0，且B·C0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：(方法1)求出直线的斜率和截距，根据斜率、截距的几何意义判断．将直线的一般式化为斜截式，得y＝－ABx－CB，因为A·C0，且B·C0，所以A·B0，所以k＝－AB0，b＝－CB0，所以直线不通过第三象限．(方法2)取特例，令A＝1，B＝1，C＝－1，得直线x＋y－1＝0满足条件．可知直线不通过第三象限．排除A、B、D，选C.答案：C5．给出下列命题：①经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示；②不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1来表示；③经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b来表示．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3解：①当直线垂直于x轴时，不正确；②当直线垂直于x轴和平行于x轴时，不正确；③当直线垂直于x轴(与y轴重合)时，不正确．答案：A直线的倾斜角与斜率求直线的方程直线方程的综合应用考点1·直线的倾斜角与斜率【例1】直线l经过A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围为(－3,3)，其斜率k的取值范围为()A．－1k15B．k1或k12C．k15或k1D．k12或k－1分析：先找到倾斜角的变化范围，再根据倾斜角的范围寻找斜率的变化范围．解：根据题意，画出示意图：当直线l由l1变到l0时，倾斜角θ∈(α，π2)，所以斜率k∈(tanα，＋∞)，当直线l由l0变到l2时，倾斜角θ∈(π2，β)，所以斜率k∈(－∞，tanβ)，因为tanα＝2－01－－3＝12，tanβ＝2－01－3＝－1，所以k的取值范围为k12或k－1.答案：D【变式探究】1．(2017·豫西五校联考)曲线y＝x3－x＋5各点处的切线的倾斜角的取值范围为.解：设曲线上任意一点的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y′＝3x2－1，所以tanθ≥－1.结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为[0，π2)∪[3π4，π)．答案:[0，π2)∪[3π4，π)点评：(1)直线的倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此，根据倾斜角求斜率的范围及根据斜率求倾斜角的范围时，要分[0，π2)与(π2，π)两种情况讨论．(2)由正切函数的图象可以得到，当α∈[0，π2)时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈(π2，π)时，斜率k∈(－∞，0)．考点2·求直线的方程【例2】已知一直线经过点(1,2)，并且与点(2,3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________________．解：若所求直线的斜率存在，则可设其方程为：y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，由题设有|2k－3－k＋2|1＋k2＝|0＋5－k＋2|1＋k2，即|k－1|＝|k－7|，解得k＝4.此时直线方程为4x－y－2＝0.又若所求直线的斜率不存在，方程为x＝1，满足题设条件．故所求直线的方程为4x－y－2＝0或x＝1.答案：4x－y－2＝0或x＝1【变式探究】2.(2017·豫北重点中学4月联考)已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1,3)到直线l的距离为2，则直线l的方程为.解：当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，由点A(1,3)到直线l的距离为2，得|k－3|1＋k2＝2，解得k＝－7或k＝1，此时直线l的方程为y＝－7x或y＝x；当直线不过原点时，设直线的方程为x＋y＝a，由点A(1,3)到直线l的距离为2，得|4－a|2＝2，解得a＝2或a＝6，此时直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.综上所述，直线l的方程为7x＋y＝0或x－y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.点评：(1)求直线方程的基本方法——待定系数法．其基本步骤是：①设方程；②求参数；③代入写出方程．(2)注意直线方程的适用条件和特殊情况(如斜率不存在，截距为零等)的讨论，防止漏解．考点3·直线方程的综合应用【例3】已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，求△AOB面积最小时直线l的方程．解：(方法1)设所求直线的方程为y＝k(x－2)＋1(k＜0)，令x＝0，则y＝1－2k，令y＝0，则x＝2－1k.所以S△AOB＝12(1－2k)(2－1k)＝12[4＋(－4k)＋1－k]≥4，当且仅当4k＝1k，即k＝－12时，上式取等号，故所求直线方程为y＝－12(x－2)＋1，即x＋2y－4＝0.(方法2)设过点M(2,1)的直线方程为xa＋yb＝1，则2a＋1b＝1，而1＝2a＋1b≥22ab(a＞0，b＞0)，所以12ab≥4，即S△AOB≥4，当且仅当2a＝1b＝12，即a＝4，b＝2时，S△AOB有最小值，故所求直线方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0.【变式探究】3．在例3的条件下，求使|OA|＋|OB|最小时直线l的方程．解：(方法1)设直线l的方程为xa＋yb＝1，所以2a＋1b＝1.所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)(2a＋1b)＝3＋2ba＋ab≥3＋22.当且仅当2ba＝ab，即a＝2＋2，b＝2＋1时，|OA|＋|OB|取得最小值．此时直线l的方程为x2＋2＋y2＋1＝1，即x＋2y－2－2＝0.(方法2)设直线l的倾斜角为θ，则∠OAB＝π－θ＝α为锐角，|OA|＝2＋1tanα，|OB|＝1＋2tanα，所以|OA|＋|OB|＝3＋1tanα＋2tanα≥3＋22，取等号的条件是1tanα＝2tanα，所以tanα＝22，故斜率k＝tanθ＝tan(π－α)＝－22，由点斜式得所求直线方程为y－1＝－22(x－2)，即x＋2y－2－2＝0.点评：(1)求直线方程常采用“待定系数法”，可由其中一个条件设出方程，再由另一个条件确定其中的系数(方法一)，也可由题目条件的特点设出方程的形式，然后由两个条件确定方程的系数(方法二)．(2)直线常常和其他知识综合，求解时，既要注意所考查问题的特点，同时要注意直线方程形式的特点，如上例中，选择截距式更便于应用条件，使解法更简便．1．直线的倾斜角和斜率的关系：(1)任意直线都存在倾斜角，但并不是任何直线都存在斜率．(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α0°0°α90°90°90°α180°k0k0不存在k02.注意区分截距与距离这两个不同的概念．截距是点的一个坐标，可取正数、零、负数；在直线l的方程中令x＝0，解出y的值，即是直线l的纵截距；令y＝0，解出x的值，即得直线l的横截距．3．直线方程的各种形式的适用条件：要深刻理解每种直线方程的适用范围，如点斜式及斜截式的适用条件是斜率必须存在，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率是否存在加以讨论．4．求直线方程：确定一条直线需要两个独立条件，求直线方程时也需要两个独立条件，解题时，常利用其中一个条件设出方程的形式，再利用另一个条件确定其中的参数．求直线方程的方法主要有如下两种：(1)直接法：直接选用直线方程的四种形式，最后化为一般式．(2)待定系数法：即设方程、求参数、代入写出方程．