2020届高考数学一轮总复习 第二单元 函数 第13讲 函数与方程课件 理 新人教A版

高考总复习第（1）轮理科数学第二单元函数第13讲函数与方程结合二次函数图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，把使_______的实数x叫作函数y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与_____有交点⇔函数y＝f(x)有__________.f(x)＝0x轴零点(3)函数零点的判定(零点存在定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是一条____________的曲线，并且有f(a)·f(b)_______0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少．．有_____________.连续不断一个零点2．二分法(1)二分法的意义对于区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．一分为二零点(2)利用二分法求函数f(x)的零点的近似值的步骤：第一步，确定区间[a，b]，验证，给定精确度ε.第二步，求区间(a，b)的中点x1.第三步，计算f(x1)；①若f(x1)＝0，x1就是函数的；②若f(a)f(x1)0，则令b＝x1，此时零点x0∈；③若f(x1)f(b)0，则令a＝x1，此时零点x0∈.第四步，判断是否达到精确度的要求，否则重复第二至第三步．f(a)f(b)0零点(a，x1)(x1，b)1．有关函数零点的结论(1)若连续函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续函数的图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)零点的分布3.三个等价关系的推广方程f(x)－g(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有交点⇔函数F(x)＝f(x)－g(x)有零点．1．(2018·永州模拟)已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x1，则f(x)的零点为()A.12B．－1C．0或12D．0解：当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝12，又因为x1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.答案：D2．函数f(x)＝12x－(12)x的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3解：在同一平面直角坐标系内作出y＝12x与y＝(12)x的图象(如图)，由图可知，两函数图象只有一个交点，因此函数f(x)＝12x－(12)x只有1个零点．答案：B3．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()A．(－14，0)B．(0，14)C．(14，12)D．(12，34)解：因为f(x)是R上的增函数且图象是连续的，且f(14)＝e14＋4×14－3＝e14－20，f(12)＝e12＋4×12－3＝e12－10，所以f(x)在(14，12)内存在唯一零点．答案：C4．(2019·广东七校联考)若函数f(x)＝2x＋a2x－2a的零点在区间(0,1)内，则实数a的取值范围是()A．(－∞，12)B．(－∞，1)C．(12，＋∞)D．(1，＋∞)解：因为f(x)单调递增，所以f0＝1－2a0，f1＝2＋a2－2a0，解得a12.答案：C5．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.4375)＝0.162f(1.40625)＝－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似值(精确到0.1)为()A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5解：可知方程的解在区间(1.40625,1.4375)上，因为1.40625≈1.4,1.4375≈1.4，故近似解为1.4.答案：C函数零点的判断与求解二次函数的零点函数零点和参数的范围考点1·函数零点的判断与求解【例1】函数f(x)＝x2－2，x≤0，2x－6＋lnx，x0的零点个数是.解：当x≤0时，由x2－2＝0，得x＝－2；当x0时，f(x)＝2x－6＋lnx在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝ln2－20，f(3)＝ln30.所以f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．综上，f(x)的零点个数为2.答案：2【变式探究】1．(2018·河北邯郸月考)已知函数f(x)＝1－|x＋1|，x1，x2－4x＋2，x≥1.(1)函数f(x)的零点为；(2)函数g(x)＝2|x|f(x)－2的零点个数为个．解：(1)当x1时，由1－|x＋1|＝0，得x＝0或x＝－2.当x≥1时，由x2－4x＋2＝0，得x＝2±2，因为x＝2－21，舍去，所以x＝2＋2.综上f(x)的零点为－2,0,2＋2.(2)g(x)＝2|x|f(x)－2的零点个数⇔g(x)＝2|x|f(x)－2＝0的解的个数⇔f(x)＝22|x|的解的个数⇔y＝f(x)与y＝22|x|图象的交点个数．下面作y＝f(x)，与y＝g(x)的图象，如图．由图可知，有且只有2个交点，故所求函数零点个数为2.点评：判断方程的根的个数，函数的零点个数等问题，常用方法有：（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）利用函数零点存在定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的性质(如单调性、奇偶性等)才能确定函数有多少个零点．（3）利用函数图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画出两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点．考点2·二次函数的零点【例2】已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1.(1)若函数有两个零点，其中一个零点在区间(－1,0)内，另一个零点在区间(1,2)内，求m的取值范围；(2)若函数的两个零点均在(0,1)内，求m的取值范围．解：(1)条件说明抛物线：f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得：f0＝2m＋1＜0，f－1＝2＞0，f1＝4m＋2＜0，f2＝6m＋5＞0⇒m＜－12，m∈R，m＜－12，m＞－56.所以－56＜m＜－12.(2)根据f(x)的零点落在(0,1)内列不等式组：f0＞0，f1＞0，Δ0，0＜－m＜1⇒m＞－12，m＞－12，m1＋2或m1－2，－1＜m＜0.所以－12＜m1－2.【变式探究】2．若关于x的方程x2－2ax＋2＋a＝0有两个不相等的实根，分别满足下列条件，求a的取值范围．(1)方程的两根都大于1；(2)方程一根大于1，另一根小于1.解：设f(x)＝x2－2ax＋2＋a.(1)两根都大于1，即f(x)在(1，＋∞)上有两个不同的零点，所以Δ＝4a2－42＋a0，－－2a2＝a1，f1＝3－a0，解得2a3.(2)方程一根大于1，另一根小于1，即要求f(x)＝x2－2ax＋2＋a两零点在x＝1的两旁，所以只需要f(1)0，所以a3.点评：利用二次函数图象，采用数形结合是求解二次函数零点分布问题的基本方法．求解时，一般要考虑如下四个方面：“开口方向、方程有解的条件、对称轴的位置、区间端点函数值的正负”．其中方程有解的条件可以是：①Δ≥0；②零点存在定理．考点3·函数零点和参数的范围【例3】(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1，0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)解：令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图：若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0，1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．答案：C3.(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝()A．－12B.13C.12D．1【变式探究】解：(方法一)f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.令g(x)＝－x2＋2x，h(x)＝a(ex－1－e－x＋1)，因为g(x)＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．又因为ex－1＋e－x＋1≥2ex－1·e－x＋1＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．若a＞0，则h(x)＝a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝12.若a≤0，则f(x)的零点不唯一．(方法2)f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，令t＝x－1，g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.因为g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，所以函数g(t)为偶函数．因为f(x)有唯一零点，所以g(t)也有唯一零点．又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，所以2a－1＝0，解得a＝12.(方法3)f(x)＝(x－1)2＋a(ex－1＋e－x＋1)，因为f(2－x)＝f(x)，所以f(x)关于x＝1对称，f(x)有唯一零点⇔f(1)＝0，所以a＝12.点评：(1)利用函数零点求参数范围时，常可构造两个函数，利用函数图象数形结合进行求解．(2)注意如下结论的运用：①y＝f(x)的零点⇔f(x)＝0的解⇔y＝f(x)与x轴交点的横坐标；②f(x)－g(x)的零点⇔方程f(x)＝g(x)的解⇔y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点的横坐标；③f(x)－a的零点⇔方程a＝f(x)的解⇔y＝f(x)的图象与y＝a的交点的横坐标；④方程a＝f(x)有解⇔a属于函数y＝f(x)的值域．1．函数y＝f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的实数根，也是y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点的判定的常用方法有：(1)零点存在定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0.3．方程f(x)＝g(x)的解，实质上就是研究F(x)＝f(x)－g(x)的零点，可利用函数思想，将其转化为两个函数图象的交点问题．4．二次方程根的分布问题实质上是函数零点存在的范围问题，因此可借助函数，运用数形结合的思想方法进行处理．在利用二次函数的图象研究根的分布问题时，要注意考察如下四个方面：①开口方向；②方程有根的条件；③对称轴位置；④区间端点函数值的正负．