2020届高考数学一轮总复习 第二单元 函数 第12讲 函数的图象与变换课件 理 新人教A版

高考总复习第（1）轮理科数学第二单元函数第12讲函数的图象与变换1．掌握基本初等函数的图象特征．2．掌握函数图象的平移变换、对称变换和翻折变换．3．能利用函数图象解决某些数学问题．1．描点法作图基本步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质，如奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点、连线，画出函数的图象．2．函数图象的常见变换(1)平移变换①水平平移：y＝f(x－a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向________平移a个单位而得到．y＝f(x＋a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向________平移a个单位而得到．②竖直平移：y＝f(x)＋b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向________平移b个单位而得到．y＝f(x)－b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向________平移b个单位而得到．右左下上右右(2)对称变换①一个函数图象自身的对称：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；若f(x)满足：对于任意的x∈R，都有f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．②两个图象之间的对称：(ⅰ)y＝f(－x)与y＝f(x)关于________对称．(ⅱ)y＝－f(x)与y＝f(x)关于________对称．(ⅲ)y＝－f(－x)与y＝f(x)关于________对称．(ⅳ)y＝f－1(x)与y＝f(x)关于_____________对称．原点直线y＝xx轴y轴(3)翻折变换①y＝|f(x)|的图象：将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴______________，其x轴上方的部分_______.②y＝f(|x|)的图象：将y＝f(x)(x≥0)的部分作出，再利用__________________________，作出x＜0的图象．翻折到x轴上方不变偶函数的图象关于y轴对称1．函数图象平移的八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．2．函数对称的重要结论：(1)若函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则f(x)的图象关于(a，b)对称．(3)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于(a，b)中心对称．1．函数y＝x|x|的图象大致是()解：(方法一)化为分段函数，因为y＝x|x|＝x2，x≥0，－x2，x0.所以可分段作出上述函数的图象，可知选A.(方法二)利用函数的性质作图，易知f(x)＝x|x|为奇函数，故只需作出x≥0时的图象，再利用对称性作出x0时的图象，可知选A.答案：A2．为了得到函数y＝2x+4+1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点()A．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度解：答案：D3．函数f(x)的图象向左平移1个单位长度，所得到的图象与曲线y＝lnx关于y＝x对称，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝ex＋1B．f(x)＝ex－1C．f(x)＝e－x＋1D．f(x)＝e－x－1解：逆向思考：y＝lnx――→关于y＝x对称y＝exy＝e(x－1)，即f(x)＝ex－1.答案：B4．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为()A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(|x|)解：y＝f(|x|)的图象是保留y＝f(x)在y轴右边的图象，并作其关于y轴对称的图象，其图象如图1所示．y＝|f(x)|的图象是保留y＝f(x)在x轴上方的图象，将x轴下方的图象翻折上去，其图象如图2所示．y＝－f(|x|)的图象与y＝f(|x|)的图象关于x轴对称，其图象如图3所示．故只有C正确．图1图2图3答案：C5．(2017·全国卷Ⅰ·文)已知函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)，则()A．f(x)在(0,2)单调递增B．f(x)在(0,2)单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称解：由题意知，f(2－x)＝ln(2－x)＋lnx＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称．C正确，D错误．又f′(x)＝1x－12－x＝21－xx2－x(0x2)，在(0,1)上单调递增，在[1,2)上单调递减，A，B错误，故选C.答案：C作函数图象识图与辨图函数图象的对称性及其应用考点1·作函数图象【例1】作出下列函数的图象：(1)y＝x(|x|－2);(2)y＝x1＋x.解：(1)因为y＝x(|x|－2)是奇函数，其图象关于原点对称．故可作出x≥0时，y＝x2－2x的图象，再利用性质，作出x≥0时关于原点对称的图象，合并即得到所作函数的图象．如下图所示．(2)定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，函数式可变形为y＝1－1x＋1，故先作出y＝－1x的图象，再向左平移一个单位，向上平移一个单位，得到所作函数的图象，如下图所示．【变式探究】1．作出下列函数的图象：(1)y＝2x＋2;(2)y＝x2－2|x|－1.解：(1)y＝2x＋2的图象可由y＝2x的图象向左平移2个单位得到．图象如图1.(2)y＝x2－2x－1，x≥0，x2＋2x－1，x0的图象如图2.点评：(1)作函数图象时，若所给函数是基本函数可直接作出；若不是基本函数则需要进行适当化简、变形，发现它们与基本函数之间的联系，然后再利用平移、对称、翻折等变换进行作图．(2)画函数图象时应注意：①定义域；②标出x，y，O；③标出关键数据(如截距、转折点的坐标等)．考点2·识图与辨图【例2】(2018·浙江卷)函数y＝2|x|sin2x的图象可能是()解：由y＝2|x|sin2x知函数的定义域为R，令f(x)＝2|x|sin2x，则f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|·sin2x.因为f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数．所以f(x)的图象关于原点对称，故排除A，B.令f(x)＝2|x|sin2x＝0，解得x＝kπ2(k∈Z)，所以当k＝1时，x＝π2，故排除C.答案：D【变式探究】2．(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ex－e－xx2的图象大致为()解：因为y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，所以f(x)＝ex－e－xx2是奇函数，图象关于原点对称，排除A.当x＝1时，f(1)＝e－e－11＝e－1e0，排除D.又e2，所以1e12，所以f(1)＝e－1e1，排除C.故选B.点评：(1)对于函数图象的有关选择题，求解的基本方法是排除法．主要是研究函数的性质(定义域、值域、奇偶性、单调性、极值等)，这些性质表现在图象上如和选择支中所给图象不符，即可排除．(2)通过观察特殊点的函数值的符号、大小，选取恰当的特殊值进行排除有时更有效，值得重视！考点3·函数图象的对称性及其应用【例3】(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝x＋1x与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝1m(xi＋yi)＝()A．0B．mC．2mD．4m分析：先研究满足条件f(－x)＝2－f(x)的函数及y＝x＋1x具有什么性质，再利用其性质进行求解．解：因为f(－x)＝2－f(x)，所以f(－x)＋f(x)＝2.因为－x＋x2＝0，f－x＋fx2＝1，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称．函数y＝x＋1x＝1＋1x，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y＝x＋1x与y＝f(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以i＝1mxi＝0，i＝1myi＝2×m2＝m，所以i＝1m(xi＋yi)＝m.答案：B【变式探究】3．(2018·南阳诊断)规定记号“*”表示一种运算，即a*b＝a2＋ab，设函数f(x)＝x*2，且关于x的方程f(x)＝ln|x＋1|(x≠－1)恰有4个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，且x1＋x2＋x3＋x4＝.解：因为f(x)＝x*2＝x2＋2x，所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又因为g(x)＝ln|x＋1|的图象关于x＝－1对称，所以y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点成对出现，且关于直线x＝－1对称，其横坐标之和为－2，所以方程f(x)＝g(x)的4个实根之和为－4.即x1＋x2＋x3＋x4＝－4.点评：(1)例3及其变式主要考查函数图象的对称性以及借助图形解决问题的能力．研究和发现图象的对称性是解决此类问题的关键．(2)注意掌握图象对称性的有关结论：①若f(x)＝f(2a－x)，则函数y＝f(x)关于x＝a对称；若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．②若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称；若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．1．平移变换、对称变换是两种常见的变换，平移变换：“左加右减，上正下负”；绝对值变换：“部分对折”．2．简单函数图象的画法：(1)直接画——当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．(2)利用图象变换——若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到的，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到原函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．(3)描点法——当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的性质讨论．3．在讨论函数的性质，求最值、确定方程的解的个数、求不等式的解集以及确定某些参数的范围时，要注意“数与形”的有机结合，充分发挥图象的直观作用．同时，如果图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用．