2020届高考数学一轮总复习 第二单元 函数 第5讲 函数的值域与最值课件 理 新人教A版

高考总复习第（1）轮理科数学第二单元函数第5讲函数的值域与最值1．掌握求值域或最值的基本方法，会求一些简单函数的值域或最值．2．建立函数思想，能应用函数观点(如应用函数的值域、最值)解决数学问题．函数值定义域和对应法则定义域1．函数的值域值域是__________的取值范围，它是由____________所确定的，所以求值域时要注意________.2．函数的最值3．求函数值域或最值的常用方法求函数的值域或最值没有通用的方法，要根据问题的不同特点，综合而灵活地运用各种方法求解．常见的方法有：(1)配方法——常用于二次函数；(2)分离常数法——常用于分式型函数，且分子次数不低于分母次数；(3)不等式法——常用于函数是n项的和或积的形式；(4)换元法、数形结合法以及利用函数的单调性法等．R(－∞，4ac－b24a][4ac－b24a，＋∞)y≠01.基本函数的值域(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为________；(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a＞0时，值域为__________________；当a＜0时，值域为__________________；(3)反比例函数y＝kx(x≠0)的值域为__________________；(4)指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的值域为_________；(5)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1，x＞0)的值域为__________；(6)正、余弦函数的值域为，正切函数的值域为___________.2．若f(x)A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)minA；若不等式f(x)B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)maxB.(0，＋∞)RR[－1,1]1．函数y＝3x(－1≤x≤3，且x∈Z)的值域为()A．[－1,3]B．[－3,9]C．{－1,0,1,2,3}D．{－3,0,3,6,9}答案：D解：由－1≤x≤3，且x∈Z，得x∈{－1,0,1,2,3}，代入y＝3x，得值域为{－3,0,3,6,9}．答案：D2．(2018·自贡高三一诊)已知函数f(x)的定义域为R，M为常数．若p：对∀x∈R，都有f(x)≥M；q：M是函数f(x)的最小值．则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：对∀x∈R，都有f(x)≥M⇒/M是函数f(x)的最小值；M是函数f(x)的最小值⇒对∀x∈R，都有f(x)≥M.所以p是q的必要不充分条件．答案：B3．(2018·福建高三月考)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是()A．y＝x2－x＋1B．y＝x＋1x(x0)C．y＝esinxD．y＝1x＋1解：对于A：(配方法)因为y＝x2－x＋1＝(x－12)2＋34，所以y≥34，故值域为[34，＋∞)．对于B：(不等式法)因为x0，所以y＝x＋1x≥2x·1x＝2，故值域为[2，＋∞)．对于C：(单调性法)令t＝sinx∈[－1,1]，则y＝et在[－1,1]上单调递增，所以e－1≤y≤e，即y＝esinx的值域为[e－1，e]．对于D：(观察法)通过观察可知其值域为(0，＋∞)．答案：D4．函数y＝2x－1x＋1的值域是()A．RB．{y|y≠－1，y∈R}C．{y|y≠2，y∈R}D．{2}解：因为y＝2x－1x＋1＝2x＋1－3x＋1＝2－3x＋1，又因为－3x＋1≠0，所以2－3x＋1≠2，即y≠2.答案：C5．函数y＝x2＋2x＋4x(x0)的最小值为()A．6B．4C．5D．3解：因为x0，所以y＝x2＋2x＋4x＝x＋4x＋2≥24＋2＝6.当且仅当x＝4x，即x＝2时取等号，所以f(x)的最小值为6.答案：A求函数的值域或最值分段函数的值域或最值恒成立问题考点1·求函数的值域或最值【例1】求下列函数的值域：(1)y＝－x2＋2x，x∈[0,3]；(2)y＝2x＋1x－3；(3)f(x)＝2x＋log3x，x∈[1,3]．解：(1)因为y＝－(x－1)2＋1，x∈[0,3]，结合函数图象可知，所求函数的值域为[－3,1]．(2)因为y＝2x－3＋7x－3＝2＋7x－3，而7x－3≠0，所以所求函数的值域为{y∈R|y≠2}．(3)由于f(x)为增函数，所以f(1)≤f(x)≤f(3)，所以函数的值域为[2,9]．【变式探究】1．求下列函数的值域：(1)y＝1－x21＋x2；(2)y＝x－1－2x.解：(1)y＝1－x21＋x2＝2－1＋x21＋x2＝21＋x2－1，因为1＋x2≥1，所以021＋x2≤2，所以－121＋x2－1≤1，即y∈(－1,1]．(2)设1－2x＝t(t≥0)，得x＝1－t22，所以y＝1－t22－t＝－12(t＋1)2＋1≤12(t≥0)，所以y∈(－∞，12]．点评：求函数值域的常用方法：(1)配方法——转化为二次函数在闭区间上的最值，与二次型函数有关的函数常用此法．(2)分离常数法——分式型函数注意用此法．(3)利用函数的单调性；(4)利用基本不等式等．考点2·分段函数的值域或最值【例2】(经典真题)若函数f(x)＝－x＋6，x≤2，3＋logax，x2(a0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是____________．解：因为当x≤2时，y＝－x＋6≥4.f(x)的值域为[4，＋∞)，所以当x2，a1时，3＋logax3＋loga2≥4，所以loga2≥1，所以1a≤2；当0a1时，3＋logax3＋loga2，不合题意．故a∈(1,2]．答案：(1,2]【变式探究】2．(经典真题)已知函数f(x)＝x＋2x－3，x≥1，lg（x2＋1），x1，则f[f(－3)]＝____，f(x)的最小值是____．解：(1)因为f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg10＝1，所以f[f(－3)]＝f(1)＝1＋2－3＝0.（2）当x≥1时，f(x)＝x＋2x－3≥2x·2x－3＝22－3，当且仅当x＝2x，即x＝2时等号成立，此时f(x)min＝22－30；当x1时，lg(x2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f(x)min＝0.所以f(x)的最小值为22－3.点评：(1)分段函数的值域为函数f(x)在各个段上函数值域的并集．(2)分段函数的最小值是每一段上最小值中较小者；而最大值是每一段上的最大值的较大者．考点3·恒成立问题【例3】(2019·黑龙江模拟)若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，12]成立，求a的最小值．分析：从题目条件的切入点不同可以有多种方法求解，主要有：配方法、分离变量法，下面用分离变量法进行求解．解：因为x∈(0，12]，所以a≥－x2－1x＝－x－1x，因为y＝x＋1x在(0，12]上单调递减，在x＝12处取得最小值52，所以－(x＋1x)≤－52.故a的最小值为－52.【变式探究】3．(2017·天津卷)已知函数f(x)＝x2－x＋3，x≤1，x＋2x，x＞1.设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥|x2＋a|在R上恒成立，则a的取值范围是()A．[－4716，2]B．[－4716，3916]C．[－23，2]D．[－23，3916]解：关于x的不等式f(x)≥|x2＋a|在R上恒成立等价于－f(x)≤a＋x2≤f(x)，即－f(x)－x2≤a≤f(x)－x2在R上恒成立，令g(x)＝－f(x)－x2.当x≤1时，g(x)＝－(x2－x＋3)－x2＝－x2＋x2－3＝－(x－14)2－4716，当x＝14时，g(x)max＝－4716；当x＞1时，g(x)＝－(x＋2x)－x2＝－(3x2＋2x)≤－23，当且仅当3x2＝2x，且x＞1，即x＝233时，“＝”成立，故g(x)max＝－23.综上，g(x)max＝－4716.令h(x)＝f(x)－x2，当x≤1时，h(x)＝x2－x＋3－x2＝x2－3x2＋3＝(x－34)2＋3916，当x＝34时，h(x)min＝3916；当x＞1时，h(x)＝x＋2x－x2＝x2＋2x≥2，当且仅当x2＝2x，且x＞1，即x＝2时，“＝”成立，故h(x)min＝2.综上，h(x)min＝2.故a的取值范围为[－4716，2]．点评：(1)恒成立问题常转化为最值问题．一般地有：若f(x)A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)minA；若不等式f(x)B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)maxB.(2)含参数问题的处理常采用分离变量法，分离变量后，转化为函数的最值问题．1．函数值的集合叫作函数的值域，值域是由定义域和对应法则所确定的，因此，在研究函数的值域时，既要重视对应法则的作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用．2．求值域的具体方法很多，如配方法、利用函数的单调性、不等式法等，但没有通用的方法和固定模式，要靠在学习过程中不断积累，抓住特点，掌握规律．要记住各种基本函数的值域，总结什么结构特点的函数用什么样的方法求值域，以及使用各种方法的注意事项，并在解决求值域问题时注意选择最优的解法．3．函数的值域常常化归为函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．4．恒成立问题常转化为最值问题．要重视变量分离及转化思想的运用．