2020届高考数学一轮总复习 第八单元 立体几何 第57讲 空间向量的应用（二）课件 理 新人教A版

第57讲空间向量的应用(二)1．能用向量法求空间中的角、空间中的距离．2．体会向量法在研究立体几何中的作用．锐角或直角1．利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹角的叫作a与b所成的角．②范围：两异面直线所成角θ的取值范围为.③向量求法：设直线a，b所成的角为θ，a，b的方向向量为a，b，则有cosθ＝.(2)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和平面所成的角，是指这条斜线与它在平面内的所成的角．②范围：直线与平面所成角θ的取值范围是.(ⅰ)直线垂直于平面，则它们所成的角为；(ⅱ)直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为；(ⅲ)直线与平面斜交，它们所成的角为.射影直角0°锐角③向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为φ，a与u的夹角为θ，则有sinφ＝|cosa，u|＝.(3)二面角①平面角的取值范围为[0，π]．②二面角的向量求法：(ⅰ)若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB→与CD→的夹角(如图①)．(ⅱ)设n1，n2分别是二面角α­l­β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．设二面角的大小为φ，n1，n2＝θ，则|cosφ|＝|cosn1，n2|＝.再结合图形，确定φ是锐角还是钝角，从而确定cosφ的符号．2．利用向量求距离(1)点与点之间的距离：求两点E，F之间的距离，即求向量EF→的模．(2)点到面的距离：设点E到平面α的距离为d，n是平面α的法向量，F为平面α上的任一点，则d＝|EF→·n||n|.(3)直线与平面的距离、平面与平面的距离都可转化为点到平面的距离．1．已知a，b为异面直线，a，b为直线a，b的方向向量，设异面直线a，b所成的角为α，则下列结论正确的是()A．cosα＝a·b|a|·|b|B．cosα＝|a·b||a|·|b|C．sinα＝a·b|a|·|b|D．sinα＝|a·b||a|·|b|答案：B2．设l是平面α的斜线，且l与平面α所成的角为θ，若l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则下列结论正确的是()A.cosθ＝a·n|a|·|n|B．cosθ＝|a·n||a|·|n|C．sinθ＝a·n|a|·|n|D．sinθ＝|a·n||a|·|n|答案：D3．在二面角α­l­β中，平面α的法向量为n，平面β的法向量为m，若m，n＝130°，则二面角α­l­β的大小为()A．50°B．130°C．50°或130°D．可能与130°毫无关系解：因二面角的范围是[0°，180°]，由法向量的夹角与二面角的大小相等或互补可知，二面角的大小可能是130°，也可能是50°，有时可从实际图形中去观察出是钝角还是锐角．答案：C4．若n是平面α的法向量，A、B是平面α的一条斜线上不同的两点，A∈α，且AB与平面α所成的角为θ，则点B到平面α的距离d为()A．|AB→·n|B．|AB→|·|n|C.|AB→·n||AB→|D.|AB→·n||n|答案：D5．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15B.56C.55D.22解：如图，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标．由题意，得A(1，0，0)，D(0，0，0)，D1(0，0，3)，B1(1，1，3)，所以1AD＝(－1，0，3)，1DB＝(1，1，3)，所以1AD·1DB＝－1×1＋0×1＋(3)2＝2，|1AD|＝2，|1DB|＝5，所以cos〈1AD，1DB〉＝1111||||ADDBADDB＝225＝55.答案：55利用空间向量求角利用空间向量求距离【例1】(2017·江苏卷)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角B­A1D­A的正弦值．考点1·利用空间向量求角解：在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E.因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AE，AA1⊥AD.如图，以{AE，AD，1AA}为正交基底，建立空间直角坐标系A­xyz.因为AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝120°，则A(0,0,0)，B(3，－1,0)，D(0,2,0)，E(3，0,0)，A1(0,0，3)，C1(3，1，3)．(1)1AB＝(3，－1，－3)，1AC＝(3，1，3)，则cos〈1AB，1AC〉＝1111||||ABACABAC＝3，－1，－3·3，1，37＝－17，因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为17.(2)平面A1DA的一个法向量为AE＝(3，0,0)．设m＝(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，又1AB＝(3，－1，－3)，BD＝(－3，3,0)，则m·A1B→＝0，m·BD→＝0，即3x－y－3z＝0，－3x＋3y＝0.不妨取x＝3，则y＝3，z＝2，所以m＝(3，3，2)为平面BA1D的一个法向量．从而cos〈AE→，m〉＝AE→·m|AE→||m|＝3，0，0·3，3，23×4＝34.设二面角B­A1D­A的大小为θ，则|cosθ|＝34.因为θ∈[0，π]，所以sinθ＝1－cos2θ＝74.因此二面角B­A1D­A的正弦值为74.【变式探究】1．(2018·江苏卷)如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．解：如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{OB，OC，1OO}为基底，建立空间直角坐标系O­xyz.因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，－1，2)，B1(3，0，2)，C1(0，1，2)．(1)因为P为A1B1的中点，所以P(32，－12，2)，从而BP＝(－32，－12，2)，1AC＝(0，2，2)，故|cos〈BP，1AC〉|＝11||||||BPACBPAC＝|－1＋4|5×22＝31020.因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为31020.(2)因为Q为BC的中点，所以Q(32，12，0)，因此AQ＝(32，32，0)，1AC＝(0，2，2)，1CC＝(0，0，2)．设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，则AQ→·n＝0，AC1→·n＝0，即32x＋32y＝0，2y＋2z＝0.不妨取n＝(3，－1，1)．设直线CC1与平面AQC1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈CC1→，n〉|＝|CC1→·n||CC1→|·|n|＝25×2＝55.所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为55.点评：利用空间向量求空间角时，要注意：(1)异面直线的夹角与向量的夹角有所不同，应注意它们的区别与联系；(2)直线与平面的夹角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，要注意它们的区别与联系；(3)求二面角的方法很多，采用向量法求二面角时，一般利用平面的法向量，但要注意求平面的法向量，应首先着眼于找(作)出平面的法向量，尽量减少运算量，作不出时再设出法向量的坐标再求解，同时也要注意，求出两个法向量所成角的余弦值后，要观察二面角的大小．考点2·利用空间向量求距离【例2】如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.(1)求BF的长；(2)求点C到平面AEC1F的距离．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)．设F(0,0，z)．因为四边形AEC1F为平行四边形，所以AF＝1EC，即(－2,0，z)＝(－2,0,2)，所以z＝2，所以F(0,0,2)，所以BF＝(－2，－4,2)．于是|BF|＝26，即BF的长为26.(2)设n1为平面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1＝(x，y,1)，由n1·AE→＝0，n1·AF→＝0，得0×x＋4×y＋1＝0，－2×x＋0×y＋2＝0，即4y＋1＝0，－2x＋2＝0，所以x＝1，y＝－14.又CC1→＝(0,0,3)，所以C到平面AEC1F的距离为d＝|n1·C1C→||n1|＝31＋116＋1＝43311.【变式探究】2．在三棱锥S­ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝23，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示，求点B到平面CMN的距离．解：取AC的中点O，连接OS，OB，因为SA＝SC，AB＝BC，所以AC⊥SO，AC⊥BO.因为平面SAC⊥平面ABC，且平面SAC∩平面ABC＝AC，所以SO⊥平面ABC，所以SO⊥BO.如图所示，建立空间直角坐标系O­xyz，则B(0,23，0)，C(－2,0,0)，S(0,0,22)，M(1，3，0)，N(0，3，2)，所以CM＝(3，3，0)，MN＝(－1,0，2)，MB＝(－1，3，0)，设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则CM→·n＝3x＋3y＝0MN→·n＝－x＋2z＝0，取z＝1，则n＝(2，－6，1)，所以点B到平面CMN的距离d＝|n·MB→||n|＝423.点评：利用空间向量求距离，点到平面的距离是基础，常转化为平面外一点与平面内一点的向量在平面法向量上的投影的长度．1．利用向量法解决立体几何问题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．向量法将立体几何问题转化为代数问题，若能恰当选取基底或建立空间直角坐标系，会使运算更简捷．2．利用向量求解角的有关问题一般都是转化为向量的夹角问题，求异面直线的夹角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应根据异面直线所成角的范围来确定；直线与平面所成的角可利用直线的方向向量与平面的法向量进行求解，而二面角的平面角，一般是转化为二面角的两个面的法向量进行求解．3．空间中各种距离一般都要转化为点点距离、点线距离、点面距离，其中点点距、点线距最终都可用空间向量的模求解，而点面距则可由平面的法向量来求解，当然，也可由等积法求解．4．利用向量解决立体几何问题，降低了推理的难度，可以避开一些较复杂的线面关系及找角、证明角是所求角的过程．但写出相应点的坐标和代数运算时也容易出错，因此，在解决具体问题的过程中，需要灵活地选择解题方法，不可生搬硬套．