2020届高考数学一轮总复习 第八单元 立体几何 第55讲 空间向量的概念及运算课件 理 新人教A版

第55讲空间向量的概念及运算1．理解空间向量的概念及空间向量坐标的概念．2．掌握空间向量的加法、减法、数乘向量及两向量的数量积运算的定义及坐标运算．3．掌握空间向量的基本定理．4．会利用空间向量的知识进行有关计算、论证．1．空间向量及其加减与数乘运算(1)空间向量：在空间，我们把具有和的量叫作空间向量．空间向量也用表示，并用的有向线段表示同一向量或相等的向量．(2)空间向量的加法、减法与数乘向量是平面向量对应运算的推广．空间向量的加法与数乘向量满足如下运算律：①加法交换律：；②加法结合律：；③数乘分配律：.大小方向有向线段同向且等长a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)λ(a＋b)＝λa＋λb2．共线向量与共面向量(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线，则这些向量叫作共线向量或平行向量，a平行于b，记作a∥b.(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使.(3)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数对(x，y)使p＝.结论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使MP→＝.互相平行或重合a＝λbxa＋yb3．空间向量基本定理空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝.结论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x，y，z，使OP→＝.4．两个向量的数量积(1)已知空间两个向量a，b，则a，b的数量积为a·b＝，其中〈a，b〉表示向量a，b的，其范围为.xa＋yb＋zc|a||b|cos〈a，b〉夹角0≤〈a，b〉≤π(2)空间向量的数量积具有如下性质：①a·e＝|a|cos〈a，e〉(e为单位向量)；②a⊥b⇔；③|a|2＝.(3)空间向量满足如下运算律：①；②；③.a·b＝0a·a(λa)·b＝λ(a·b)a·b＝b·aa·(b＋c)＝a·b＋a·c5．空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系O­xyz，点O叫作坐标原点，向量i，j，k都叫作坐标.在单位正交基底i，j，k中，与向量OA→对应的有序实数组(x，y，z)，叫作点A在此空间直角坐标系中的，记作A(x，y，z)．其中x，y，z分别叫作点A的横坐标、纵坐标和竖坐标．坐标向量坐标6.向量的直角坐标运算a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a＋b＝；a－b＝；a·b＝；a∥b⇔(λ∈R)或(b1b2b3≠0)．a⊥b⇔.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB→＝.7.夹角和距离公式(1)夹角公式：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉＝.(2)空间两点间的距离公式：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则dA，B＝|AB→|＝.1．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，11AB＝a，11AD＝b，1AA＝c，则下列向量中与B1M→相等的向量是()A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cC.12a－12b＋cD．－12a－12b＋c解：1BM＝1BB＋BM＝1AA＋12BD＝1AA＋12(AD－AB)＝1AA＋12(11AD－11AB)＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.答案：A2．向量a，b的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝4，则a·b＝()A．6B．63C12.D．123解：因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝3×4×cos30°＝63.答案：B3．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝()A．8B．4C．2D．1解：c－a＝(0,0,1－x)，(c－a)·(2b)＝2(0,0,1－x)·(1,2,1)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.答案：C4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()A．1B.15C.35D.75解：ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，2a－b＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)．因为两向量垂直，所以3(k－1)＋2k－2×2＝0.所以k＝75.答案:D5．已知向量a＝(0,2，－1)，b＝(－1,1,2)，则向量a与b的夹角为()A．0°B．45°C．90°D．180°解：由cosa，b＝a·b|a||b|＝0，所以a，b＝90°.答案:C空间向量的线性运算空间向量的坐标运算空间向量的简单应用考点1·空间向量的线性运算【例1】如图，设四面体ABCD的三条棱AB＝b，AC＝c，AD＝d，Q是△BCD的重心，试用b，c，d表示向量DM，AQ.解：因为M为BC的中点，所以DM＝12(DB＋DC)＝12[(AB－AD)＋(AC－AD)]＝12[(b－d)＋(c－d)]＝12(b＋c－2d)．AQ＝AD＋DQ＝d＋23DM＝d＋13(b＋c－2d)＝13(b＋c＋d)．【变式探究】1．已知空间四边形OABC中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，试用a，b，c表示向量OG.解：OG＝OM＋MG＝OM＋23MN＝12OA＋23(MO＋OC＋CN)＝12a＋23[－12a＋c＋12(b－c)]＝12a－13a＋23c＋13b－13c＝16a＋13b＋13c.点评：用已知向量表示未知向量，以及进行向量表达式的化简时，一定要注意结合实际图形，以图形为指导是解题的关键，同时要注意首尾相接的向量的和向量的化简方法，以及从同一个点出发的两个向量的差向量的运算法则，避免出现方向错误．考点2·空间向量的坐标运算【例2】已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，求以AB，AC为边的平行四边形的面积．解：由题意可得：AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3,2)，所以cosAB，AC＝||||ABACABAC＝－2＋3＋614·14＝714＝12.所以sinAB，AC＝32，所以以AB，AC为边的平行四边形的面积S＝2×12|AB|·|AC|·sinAB，AC＝14×32＝73.【变式探究】2．已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c，求：(1)a，b，c；(2)a＋c与b＋c夹角的余弦值．解：(1)因为a∥b，所以x－2＝4y＝1－1，解得x＝2，y＝－4，这时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)，又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0；解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，因为(a＋c)·(b＋c)＝5－12＋3＝－4，|a＋c|＝52＋22＋32＝38，|b＋c|＝12＋－62＋12＝38，所以cosa＋b，b＋c＝a＋b·b＋c|a＋b||b＋c|＝－438·38＝－219.所以a＋c与b＋c所成角的余弦值为－219.点评：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算相似，只是多出一个坐标，与平面向量的坐标运算作一些对比可以较容易地掌握空间向量的坐标运算问题．考点3·空间向量的简单应用【例3】如图，直三棱柱ABC­A1B1C1，底面ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．(1)求异面直线BA1与CB1所成的角的余弦值；(2)求证：A1B⊥C1M.解：如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系C­xyz，(1)因为A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，所以1BA＝(1，－1,2)，1CB＝(0,1,2)，1BA·1CB＝3，|1BA|＝6，|1CB|＝5，设异面直线BA1与CB1所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈1BA，1CB〉|＝1111||||||BACBBACB＝3010，所以异面直线BA1与CB1所成的角的余弦值3010.(2)依题意，得C1(0,0,2)，M(12，12，2)，1AB＝(－1,1，－2)，1CM＝(12，12，0)，所以1AB·1CM＝－12＋12＋0＝0，所以1AB⊥1CM，从而A1B⊥C1M.【变式探究】3．已知三棱柱ABC­A1B1C1中底面边长和侧棱长均为a，侧面A1ACC1⊥底面ABC，A1C＝a.(1)求异面直线AC与BC1所成角的余弦值；(2)求证：A1B⊥平面AB1C.解：(1)取AC的中点O，连接A1O，BO，则A1O⊥AC，BO⊥AC，建立如图所示空间直角坐标系．由题设条件可得B(32a,0,0)，C1(0，a，32a)，A(0，－12a，0)，C(0，12a,0)，所以1BC＝(－32a，a，32a)，AC＝(0，a,0)．设AC与BC1所成的角为θ，则cosθ＝|cosAC，1BC|＝11||||||BCACBCAC＝a2102a·a＝105，所以异面直线AC与BC1所成角的余弦值为105.(2)证明：A1(0,0，32a)，B(32a,0,0)，所以1AB＝(32a,0，－32a)，AC＝(0，a,0)，1AB·AC＝0.所以A1B⊥AC.因为四边形ABB1A1为菱形，所以A1B⊥AB1.又因为AB1与AC为平面AB1C内的两条相交直线，所以A1B⊥平面AB1C.点评：空间中的两个向量的数量积是平面向量中两向量的数量积的延伸和推广，工具性特别强，既可借助向量的数量积解决两直线的平行与垂直问题，也可解决空间角和空间距离问题的计算问题．1．空间向量的定义和平面向量一样，我们把具有大小和方向的量叫作向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等向量．因此，类比平面向量，是掌握空间向量的最好方法．2．要注意掌握空间向量的一些常用结论：(1)空间向量的基本定理：给定空间向量一个基底{a，b，c}，对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc.(2)空间向量共线、垂直的充要条件：a∥b⇔a＝λb(b≠0)，a⊥b⇔a·b＝0.(3)空间向量共面的充要条件：p，a，b共面⇔p＝xa＋yb(a，b不共线)．(4)空间向量的夹角公式：cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.3．运用空间向量解决立体几何中的问题有两种基本方法，一是基向量法，二是坐标法．一般采用坐标法，运用坐标法解决立体几何问题的一般步骤为：(1)建立恰当的空间坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量的坐标；(4)结合公式进行论证，计算；(5)转化为几何结论．4．借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算，如：(1)证明线线平行，转化为证明a∥b(b≠0)⇔a＝λb；(2)证明线线垂直，转化为证明a⊥b⇔a·b＝0；若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则转化为计算a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；(3)在计算异面直线所成的角(或线面角、二面角)时，转化为求向量的夹角，利用公式cosθ＝a·b|a|·|b|；(4)在求立体几何中线段的长度时，转化为求a·a＝|a|2，或利用空间两点的距离公式．