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第54讲空间中的垂直关系1．了解空间直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义．2．掌握判断空间直线与平面垂直、平面与平面垂直的方法，能正确判断空间直线与平面垂直、平面与平面垂直．3．掌握直线与平面、平面与平面垂直的性质．任意一条直线两条相交直线m∩n＝A1．直线与平面垂直的判定(1)利用定义：如果一条直线和一个平面内的都垂直，则此直线与这个平面垂直．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面．用符号语言表示为：m⊂α，n⊂α，，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.2．直线与平面垂直的性质(1)由直线和平面垂直的定义知：若一条直线垂直于平面α，则这条直线垂直于平面α内的直线．(2)性质定理：垂直于同一平面的两条直线.用符号语言表示为：a⊥α，b⊥α⇒.任意一条平行a∥b3．两平面垂直的判定(1)利用定义：两个平面相交，若所成的二面角为，则称这两个平面互相垂直．(2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条，那么这两个平面互相垂直．4．两平面垂直的性质若α⊥β，α∩β＝l，b⊥l，b⊂α，则.90°垂线b⊥β1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．3．垂直于同一条直线的两个平面平行．4．一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．1．下列命题正确的是()①如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；②如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；④如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．A．①②B．①③C．②④D．③④解：①中两条直线一定要是两相交直线，如果是两平行直线，结论不成立；②中的无数条直线如果是平行直线，结论也不成立；只有③与④才成立．答案：D2．下列四个命题：①平行于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两条直线平行；③若直线垂直于平面，则它垂直于平面内的所有直线；④垂直于同一个平面的两条直线平行．其中正确的命题是()A．①③④B．①④C．①D．①②③④解：由三线平行公理知①正确；由直线与平面垂直的定义知③正确；由直线与平面垂直的性质定理知④正确．答案：A3．下面命题中：①两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直；②一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直；③一直线与两平面中的一个平行与另一个垂直，则这两个平面垂直．其中正确命题的个数有()A.0个B.1个C.2个D.3个解：①正确，是两个平面垂直的定义；②正确，是两平面垂直的判定定理；③正确，即若a∥α，a⊥β，则α⊥β.证明如下：过a作平面γ使α∩γ＝a′，α∩γ＝a′a∥α⇒a∥a′a⊥β⇒a′⊥βa′⊂α⇒α⊥β.故选D.答案：D4．下列两个命题中：①两平面垂直，经过第一个平面上一点垂直于它们的交线的直线必垂直第二个平面；②一平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直．对上述两命题的判断中，正确判断的是()A．①、②都正确B.①正确，②不正确C．①不正确，②正确D.①、②都不正确解：①不正确，当点在交线上时，满足条件，但该直线不一定垂直第二个平面．②正确，即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.证明如下：设α∩γ＝a，在γ内作直线l⊥a，则l⊥α.因为α∥β⇒l⊥β又l⊂γ⇒β⊥γ.由以上分析可知，选C.答案:C5.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n答案:C解：因为α∩β＝l，所以l⊂β.因为n⊥β，所以n⊥l.线面垂直的判定面面垂直的判定线面垂直、面面垂直的综合应用考点1·线面垂直的判定【例1】(2018·全国卷Ⅱ节选)如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．证明：PO⊥平面ABC.证明：因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝23.如图，连接OB.因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，得PO⊥平面ABC.【变式探究】1．(2018·相阳教育模拟节选)如图，在四棱锥SABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.证明：SD⊥平面SAB.证明：取AB的中点E，连接DE，则四边形BCDE为矩形，DE＝CB＝2，连接SE，则SE⊥AB，SE＝3.又SD＝1，故ED2＝SE2＋SD2，所以∠DSE为直角．由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE＝E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD.SD与两条相交直线AB，SE都垂直．所以SD⊥平面SAB..点评：(1)证线面垂直的基本方法是利用判定定理，即证明一条直线与平面内的两条相交直线垂直．(2)证明线线垂直时，要注意如下几个方面：①注意特殊几何体中的垂直关系的利用(如正方体、正棱柱、直棱柱等)．②要注意充分利用平面几何的知识，挖掘题中隐含的垂直关系，如正方形、菱形的对角线垂直；等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线垂直底边；直径所对的圆周角为90°等．③利用计算的方法证明垂直，如给出线段长度，计算满足勾股定理、证明角等于90°等．④利用已知垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视直线与平面垂直的性质和两平面垂直的性质定理.考点2·面面垂直的判定【例2】(2018·全国卷Ⅲ节选)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．证明：平面AMD⊥平面BMC.证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.【变式探究】2．(2018·河北五校高三联考节选)如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD，E是PB的中点．求证：平面EAC⊥平面PBC.证明：因为PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥PC.因为AB＝2AD＝2CD，所以AC＝BC＝2AD＝2CD.所以AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC.又BC∩PC＝C，所以AC⊥平面PBC.因为AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC.点评：(1)证明两平面垂直的基本方法是利用平面与平面垂直的判定定理，即证其中一个平面经过另一个平面的垂线．(2)证明线线垂直时，要充分利用特殊三角形、菱形的性质和计算的方法．考点3·线面垂直、面面垂直的综合应用【例3】(2017·湖南长沙一模节选)如图，以A，B，C，D，E为顶点的六面体中，△ABC和△ABD均为正三角形，且平面ABC⊥平面ABD，EC⊥平面ABC，EC＝32，AB＝2.求证：DE⊥AB.证明：设AB的中点为F，连接DF，CF.因为△ABC，△ABD均为等边三角形，所以DF⊥AB，CF⊥AB，又DF∩CF＝F，DF，CF⊂平面CFD，所以AB⊥平面CFD.因为平面ABC⊥平面ABD，DF⊥AB，平面ABC∩平面ABD＝AB，所以DF⊥平面ABC.又因为EC⊥平面ABC，所以DF∥CE，从而E∈平面DFC，因此DE⊂平面DFC，所以DE⊥AB.【变式探究】3．(2017·江苏卷)如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明：(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.点评：(1)线线垂直、线面垂直及面面垂直，三种垂直关系可以相互转化：(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理转化：在一个平面内证(作)交线垂直，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．1．直线与平面垂直、平面与平面垂直是直线与平面、平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊位置关系的认识，既可从直线和平面、平面与平面所成的角为90°的角度认识，也可从已有的线线垂直、线面垂直关系出发进行推理论证．2．在空间垂直关系中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知图形通过计算证明垂直，也可根据已知的垂直关系证明线线垂直．3．在线面垂直和面面垂直的判定定理中，有一些非常重要的限制条件，如“两条相交直线”“一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，使用这些定理时，要特别注意交待这些限制条件．4．垂直关系的论证，常用的思路是由已知想性质，由求证想判定，根据性质的需要作辅助线、面．特别是要会利用特殊多面体的线面关系，如直棱柱、正棱锥等多面体的线面关系为已知条件，进行证明．5．空间垂直关系之间的转化是立体几何中证明垂直关系的常用思路，三种垂直关系的转化可结合下面的框图进行记忆．