2020届高考数学一轮总复习 第八单元 立体几何 第53讲 空间中的平行关系课件 理 新人教A版

第53讲空间中的平行关系1．了解空间直线与平面平行、平面与平面平行的定义．2．掌握判断空间直线与平面平行、平面与平面平行的方法，能正确判断空间直线与平面平行、平面与平面平行．3．能正确运用“空间直线与平面平行”“平面与平面平行”进行逻辑推理．没有任何公共点外平行b∥αa∥b平行1．直线与平面平行的判定(1)定义：直线和平面.(2)判定定理：如果平面的一条直线和平面内的一条直线，那么这条直线和这个平面平行．符号表示：b⊄α，a⊂α，a∥b⇒.2．直线与平面平行的性质如果一条直线与一个平面平行，则经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线.符号表示：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒.3．两个平面平行的判定(1)判定定理：如果一个平面内有都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．符号表示：a⊂β，b⊂β，，a∥α，b∥α⇒β∥α.(2)垂直于的两个平面平行．两条相交直线a∩b＝P同一直线4．两个平面平行的性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的直线另一个平面．符号表示：α∥β，a⊂α，则.(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线.符号表示：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则.平行于a∥β平行a∥b1．判断两平面平行的常用结论(1)垂直于同一直线的两个平面平行；(2)平行于同一平面的两个平面平行．2．与平面平行有关的几个常用结论(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等；(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行；(3)两条直线被第三个平面所截，截得的对应线段成比例；(4)同一条直线与两平行平面所成的角相等．1．下列说法正确的是()A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∥b，b⊂α，则a∥αD．若直线a⊄α，b⊂α且a∥b，那么直线a∥α解：A中缺少l在平面α外这一条件；直线在平面α外包括直线与平面相交和与平面平行两种情况，故B错；C中缺少a不在平面α内这一条件；D满足线面平行的三个条件，故选D.答案：D2．直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是()A．a∥bB．a⊥bC．a，b异面D．a∥b或a与b异面解：直线a∥平面α，直线b⊂α，所以a与b无公共点，所以a与b平行或异面，选D.答案：D3．下列命题错误的是()A．若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行B.垂直于同一直线的两平面平行C.平行于同一直线的两平面平行D.平行于同一平面的两平面平行解：A、B是两个平面平行的两个判定定理，正确；C错误，D正确，故选C.答案：C4．下列命题中不正确的是()A.两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面B.两个平行平面同时和第三个平面相交，其交线一定平行C.一直线与两平行平面中的一个相交，这条直线必与另一个相交D．一直线与两平行平面中的一个平行，这条直线必与另一个平行解：A、B是两个平面平行的性质，正确；C正确，可用反证法进行证明；D错误，这一直线还可能在另一个平面内．故选D.答案:D5．(经典真题)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β⇒/α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．答案:B直线与平面平行的判断平面与平面平行的判定平行关系的综合运用考点1·直线与平面平行的判断【例1】(2017·浙江卷节选)如图，已知四棱锥P­ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点．证明：CE∥平面PAB.证明：如图，设PA的中点为F，连接EF，FB.因为E，F分别为PD，PA的中点，所以EF∥AD且EF＝12AD.又因为BC∥AD，BC＝12AD，所以EF∥BC且EF＝BC，所以四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF.因为BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，所以CE∥平面PAB.【变式探究】1．(2015·山东卷节选)如图，在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G、H分别为AC、BC的中点．求证：BD∥平面FGH.证明：(方法1)如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点．又H为BC的中点，所以OH∥BD.又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.(方法2)在三棱台DEF­ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE∥HF.又BE⊄平面FGH，HF⊂平面FGH，所以BE∥平面FGH.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH⊂平面FGH，AB⊄平面FGH，所以AB∥平面FGH.又AB∩BE＝B，所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.点评：(1)证线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，转化为证线与线平行．②利用面面平行的性质定理，转化为证面面平行．(2)利用判定定理时，要注意强调：(ⅰ)一条线在平面外；(ⅱ)一条线在平面内；(ⅲ)平面外的直线与平面内的直线平行．(3)证线线平行是证平行的基础，要注意如下结论的运用：①三线平行公理；②平面几何中的结论：如三角形的中位线定理、平行四边形的性质等．考点2·平面与平面平行的判定【例2】(2015·四川卷节选)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论．解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD­EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.【变式探究】2．如图，已知ABC­A1B1C1是正三棱柱，E，F分别是AC，A1C1的中点．求证：平面AB1F∥平面BEC1.证明：因为E、F分别是AC、A1C1的中点，所以AE＝FC1.又因为AE∥FC1，所以四边形AEC1F是平行四边形，所以AF∥EC1.因为EC1⊂平面BEC1，AF⊄平面BEC1，所以AF∥平面BEC1.连接EF.因为EF∥BB1，EF＝BB1，所以四边形BB1FE是平行四边形，所以B1F∥BE，B1F⊄平面BEC1，BE⊂平面BEC1，所以B1F∥平面BEC1.因为AF，B1F是平面AB1F内的相交直线，所以平面AB1F∥平面BEC1.点评：证面面平行的基本方法是利用面面平行的判定定理，即转化为证线面平行．【例3】(2015·安徽卷节选)如图所示，在多面体A1B1D1­DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.证明：EF∥B1C.考点3·平行关系的综合运用证明：由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1C∥A1D.又A1D⊂平面A1DE，B1C⊄平面A1DE，于是B1C∥平面A1DE.又B1C⊂平面B1CD1，平面A1DE∩平面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C.3.(2018·石家庄一模节选)已知四棱锥P­ABCD，底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD，过AB的平面与侧面PCD的交线为EF，且满足S△PEF∶S四边形CDEF＝1∶3(S△PEF表示△PEF的面积)．证明：PB∥平面ACE.【变式探究】证明：由题意知四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，又CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，所以AB∥平面PCD.又AB⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD＝EF，所以EF∥AB，又AB∥CD，所以EF∥CD.由S△PEF∶S四边形CDEF＝1∶3知E，F分别为PD，PC的中点，连接BD交AC于点G，则G为BD的中点．在△PBD中，EG为中位线，所以EG∥PB.因为EG∥PB，EG⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB∥平面ACE.点评：(1)证线线平行，常利用线面平行、面面平行的性质定理．(2)线面平行、面面平行转化为线线平行，都是通过“辅助平面”完成的．1．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”、再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但必须注意，转化方向的确定必须根据题目的条件和问题的特点而定．三种平行关系转化的示意图为：2．线面平行的判定定理中，要特别注意“平面外的一条直线”与“平面内的一条直线”，两者缺一不可；面面平行的判定定理中，要特别注意“两条相交直线”这一条件．3．解决有关平行问题时，要注意常用结论的总结和应用，以下是一些常用结论，在解决有关选择题、填空题时可直接引用．(1)经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．(3)已知平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面．(4)如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交．(5)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另一个平面．(6)夹在两个平行平面间的平行线段相等．(7)两平行平面间的距离处处相等．(8)平行于同一条直线的两条直线平行．(9)平行于同一个平面的两个平面平行．(10)平行于同一直线的两个平面平行或相交．(11)平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面．