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第52讲空间点、线、面的位置关系1．了解平面的基本性质，理解“三个公理”的意义．2．理解空间点、直线、平面的位置关系的定义．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明空间位置关系的简单命题．两点若A、B∈l，且A、B∈α，则l⊂α不在同一条直线上有且只有一条P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l且P∈l1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内．用符号语言表述为：.公理2：经过的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们过该点的公共直线．用符号语言表述为：.2.空间两条直线的位置关系(1)空间两条直线的位置关系包括，其中异面直线是指不同在一个平面内的直线．(2)公理4：平行于同一条直线的两条直线.(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角.平行、相交、异面任何平行相等或互补3．空间中直线与平面的位置关系4．平面与平面的位置关系无数个有且只有一个没有没有公共点有且只有一条公共直线1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．异面直线的判定定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．3．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．1．在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一平面的两个平面互相平行B．过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上有两点在同一平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解：根据点、线、面位置关系的4个公理来判断，选项A是两平面平行的性质，B、C、D分别是公理2、公理1和公理3.答案：A2．若直线a，b是异面直线，直线b，c是异面直线，则a，c的位置关系是()A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．以上都有可能解：可画图帮助判断，得到a与c异面、相交、平行都有可能．答案：D3．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解：当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．答案:B4.(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.答案:A5．已知下列四个命题：①在空间中，过直线外一点只能作一条直线与该直线平行；②若直线在平面外，则直线与平面平行；③若两平面平行，则分别在这两个平面内的直线平行或异面；④若直线与平面平行，则直线平行于平面内的任何一条直线．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解：①③对，其余错．答案:C平面基本性质的应用判断空间两直线的位置关系点、线、面位置关系的判定考点1·平面基本性质的应用【例1】在空间四边形ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝2∶3，DH∶HA＝2∶3.(1)求证：G、E、F、H四点共面；(2)求证：EF、GH、BD交于一点；(3)若EF与GH相交于O，证明：B、D、O三点共线．证明：(1)连接EG、HF，因为E、G分别是BC、AB的中点，所以GE∥AC，又因为DF∶FC＝2∶3，DH∶HA＝2∶3，所以HF∥AC，所以GE∥HF，故G、E、F、H四点共面．(2)由(1)知G、E、F、H四点共面，又EF与GH不平行，所以EF与GH必相交．设EF∩GH＝O，由O∈EF，EF⊂平面BCD，所以O∈平面BCD，同理O∈平面ABD，所以O在平面ABD与平面BCD的交线BD上，所以EF、GH、BD交于一点O.(3)由(2)可知，O点在BD上，所以B、D、O三点共线．【变式探究】1．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝12AD，BE∥FA，BE＝12FA，G，H分别是FA，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)证明：C，D，F，E四点共面．解：(1)因为G，H分别是FA，FD的中点，所以GH∥AD，GH＝12AD，又因为BC∥AD，BC＝12AD，所以BC∥GH，BC＝GH，所以四边形BCHG是平行四边形．(2)证明：因为BE∥FA，BE＝12FA，所以BE∥FG，BE＝FG，所以四边形BGFE是平行四边形，所以BG∥EF.又因为BG∥CH，所以EF∥CH.所以C，H，F，E四点共面．又D∈FH，FH⊂平面CHFE，所以D∈平面CHFE，所以C，D，F，E四点共面．点评：(1)理解平面的基本性质，掌握其基本应用是解决“点、线共面，多点共线，多线共点”的关键．(2)公理1是判断一条直线是否在平面内的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三点共线或三线共点的依据．考点2·判断空间两直线的位置关系【例2】在下图中，G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有__________．(填上所有正确答案的序号)解：①因为M、G为中点，可得到GMHN，所以GH∥MN，所以GH与MN共面．②④可利用结论：“平面内一点和平面外一点的连线，和平面内不经过该点的直线是异面直线”进行判定，也可采用反证法判定，得到GH与MN是异面直线．③因为GM12HN，所以GH与MN共面．答案：②④【变式探究】2．(2017·广东惠州三调)如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；②直线EF∥平面PBC;④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解：将展开图还原为几何体(如图)，因为四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，则直线BE与CF共面，①错；因为AF⊂平面PAD，B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错．答案：B点评：(1)空间两条直线位置关系的判定，主要是异面、共面的判定．对于异面直线的判定可直接证明也可采用反证法，通过图形分析、运用反证法的思想是判断线面位置关系的常用方法．判定两直线异面，常利用结论：平面内一点和平面外一点的连线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)共面的情况主要是对平行与垂直这两种特殊位置关系的判定．对于平行的判定，常利用三角形(梯形)的中位线的性质、平行四边形的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对垂直关系的判断，常利用平面几何中特殊图形的特点及线面垂直的性质来解决．考点3·点、线、面位置关系的判定【例3】(经典真题)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解：直接去判断每一个选择支是否正确，很抽象．可构造长方体模型，化抽象为直观进行判断．画出满足题设条件的长方体模型，如图：显然α⊥β，排除A；虽然α⊥β，但l∥β，排除B；α与β相交，且交线平行于l，排除C，选D.答案：D【变式探究】3．(2017·湖北武昌调研)若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则.(写出所有正确结论的编号)①四面体ABCD每组对棱相互垂直；②四面体ABCD每个面的面积相等；③从四面体ABCD每个面出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．解：把四面体ABCD放置在如图所示的长方体中(如图)，对于①，当长方体不是正方体时，①的结论不成立，故命题①错误；对于②，因四个面对应有三角形的三边分别对应相等，即它们为全等的三角形，所以②正确；对于③，当四面体ABCD为正四面体时，夹角之和等于180°，所以③错误；对于④，在每组对棱中点的连线分别与长方体的棱平行，且都经过长方体的中心，所以④正确；又命题⑤显然成立．故填②④⑤.点评：(1)点、线、面位置关系的判断是高考的热点，其方法有：①根据公理和定理证明位置关系；②通过构造特例否定其位置关系；③利用原命题与逆命题的等价判断命题的真假；④反证法等．(2)构造长方体模型或正方体模型是构造“特例”的常用方法，利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，可避免因考虑不全而导致解题错误．1．证明点共线、线共点、点或线共面的基本方法：(1)证明空间点共线问题．通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出两点在某两个平面的交线上，再证明其他点既在第一个平面内，又在第二个平面内，从而说明它在两个平面的交线上．(2)证明空间线共点问题．如证三线共点，可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后再证另两条直线的交点在此直线上．(3)证明空间几点共面问题．可先取三点(不共线的三点)确定一个平面，再证其他各点都在这个平面内；证明空间几条直线共面问题．可先取两条(相交或平行)直线确定一个平面，再证明其余直线在这个平面内，或者从这些直线中取适当的两条直线确定若干个平面，再证明这些平面重合．2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．(2)反证法：即证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而得到两线异面．3．空间点、线、面位置关系的判断，常常需要进行文字语言、图形语言、符号语言的转换和交替使用，特别要注意“构造法”的运用，通过构造长方体等模型，能化抽象为直观，快速得到判断．