2020届高考数学一轮总复习 第八单元 立体几何 第51讲 空间几何体的表面积与体积课件 理 新人教

第51讲空间几何体的表面积与体积1．了解柱、锥、台及球的表面积和体积的计算公式．2．通过对空间几何体的表面积与体积的计算，进一步理解简单几何体的结构特征．1．侧面积与全面积把柱、锥、台体的侧面沿着它们的一条侧棱(或母线)剪开后展开在一个平面内，展开图的面积是它们的侧面积．侧面积与底面积的和称为全面积或表面积．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3．空间几何体的表面积和体积公式几何体名称表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上·S下)h球S表面积＝4πR2V球＝43πR31．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．几个与球有关的切、接的常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R.①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球为正方体的各棱相切，则2R＝2a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.3．球的截面的性质(1)过球心的平面截球所得的截面是一个圆，称为球的大圆，不过球心的平面截球所得的截面也是圆，称为球的小圆．(2)球的截面的性质：①球的小圆圆心与球心连接的线段与小圆面；②该球心到球的截面的距离为d，小圆的半径r，球的半径R，则R2＝.垂直d2＋r21．(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20πB．24πC．28πD．32π解：由三视图可知圆柱的底面直径为4，母线长(高)为4，所以圆柱的侧面积为2π×2×4＝16π，底面积为π·22＝4π；圆锥的底面直径为4，高为23，所以圆锥的母线长为（23）2＋22＝4，所以圆锥的侧面积为π×2×4＝8π.所以该几何体的表面积为S＝16π＋4π＋8π＝28π.答案：C2.(2018·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A．2B．4C．6D．8解：由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的上、下底边长分别为2，1，高为2，所以该几何体的体积为V＝2×[12×(2＋1)×2]＝6.答案：C3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A．6B．9C．12D．18解：由题意知，此几何体是三棱锥，其高h＝3.底面面积S＝12×6×3＝9，所以V＝13Sh＝13×9×3＝9.答案：B4.(2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π解：由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R，则43πR3－18×43πR3＝283π，解得R＝2.因此它的表面积为78×4πR2＋34πR2＝17π.故选A.答案:A5．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．πB.3π4C.π2D.π4解：设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．所以r＝12－122＝32.所以圆柱的体积为V＝πr2h＝34π×1＝3π4.答案:B求简单几何体的表面积与体积求组合体的表面积与体积球的有关计算考点1·求简单几何体的表面积与体积【例1】(经典真题)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2＋5B．4＋5C．2＋25D．5解：先将三视图还原为几何体，再求解表面积．作出三棱锥的示意图如图，在△ABC中，作AB边上的高CD，连接SD.在三棱锥S­ABC中，SC⊥底面ABC，SC＝1，底面三角形ABC是等腰三角形，AC＝BC，AB边上的高CD＝2，AD＝BD＝1，斜高SD＝5，AC＝BC＝5.所以S表＝S△ABC＋S△SAC＋S△SBC＋S△SAB＝12×2×2＋12×1×5＋12×1×5＋12×2×5＝2＋25.答案：C【变式探究】1.(2019·柳州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为()A.48B.16C.32D.165解：该几何体的直观图，如图：过P作PE⊥DC于E，则PE⊥平面ABCD.CP＝CD＝25，DP＝22，S△PDC＝12×DC×PE＝12DP×252－22，所以PE＝655，SABCD＝4×25＝85，所以V＝13SABCD×PE＝13×85×655＝16.答案：B点评：(1)几何体的表面积和体积常常结合三视图进行考查．通过三视图还原几何体考查空间想象能力，通过表面积、体积的计算考查运算求解能力．(2)求几何体的体积和表面积，要紧扣公式中的基本量，注意量与量之间的转化．(3)当几何体不是正棱柱、正棱锥和正棱台时，求侧面积，要注意判断侧面的形状，并对每一个侧面的面积分别求出后再相加．考点2·求组合体的表面积与体积【例2】(1)(经典真题)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝（）A．1B．2C．4D．8解：(1)由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，如右图所示：圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为12×4πr2＋πr2＋πr×2r＋2r×2r＝5πr2＋4r2＝16＋20π，解得r＝2.答案：B(2)(经典真题)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A.18B.17C.16D.15解：(2)由三视图得，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，截去四面体A­A1B1D1，如图所示．设正方体的棱长为a，则VA­A1B1D1＝13×12a3＝16a3，故剩余几何体的体积为a3－16a3＝56a3.所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15.答案：D【变式探究】2．(1)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A．21＋3B．18＋3C．21D．18解：(1)由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体从后面右上角和前面左下角分别截去一个小三棱锥后剩余的部分，其表面积为S＝6×4－6×12＋2×34×(2)2＝21＋3.答案：A(2)(2018·福州第二次月考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π解:(2)原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)．V＝4×2×2＋12π×22×4＝16＋8π.答案:A点评：(1)求组合体体积的基本思路是通过分割、补形或采用间接法的手段，将几何体变为一个或几个规则的，体积易求的几何体，然后再计算．(2)空间几何体的表面积是空间几何体暴露在外的面积，求组合体的表面积，通常是采用“分割”或“补形”转化为常规的柱、锥、台、球等，先求出这些柱、锥、台、球的表面积，再通过求和或作差求得原几何体的表面积．考点3·球的有关计算【例3】(经典真题)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A.500π3cm3B.866π3cm3C.1372π3cm3D.2048π3cm3解：如图是所求球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝12AB＝12×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，所以R＝5.所以V球＝43π×53＝5003π(cm3)．答案：A【变式探究】3.(2019·岳阳市岳阳县一中月考)已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为12R，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，则球O的表面积为()A.169πB.163πC.649πD.643π解：在△ABC中，因为AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，所以∠ABC＝30°，由正弦定理得ACsin∠ABC＝2r(r为△ABC的外接圆半径)，即2r＝2sin30°＝4，所以r＝2，因为R2＝r2＋h2，又h＝R2，所以R2＝4＋R24，解得R2＝163，所以球O的表面积为S＝4πR2＝64π3.答案：64π3点评：对于球的体积、球中截面圆的面积问题，常常构造直角三角形，运用勾股定理得到球的半径与截面圆半径之间的关系，从而求得球的半径和截面圆的半径，进而求得球的体积、表面积、球中截面面积等．1．棱柱、棱锥、棱台的表面积多采用累加的方式求解，特别地，若为正棱柱(棱锥、棱台)则各侧面面积相等，可用乘法计算．2．求几何体体积常用方法有公式法、割补法和求差法(即整体减去局部)．3．解决球的内接和外切问题的关键是弄清楚几何体的哪一个几何量(线段长)“充当”了球的直径(或半径)的角色，如：球的内接正方体的对角线就是球的直径，球的外切正方体的棱长就是球的直径．为此通常作出轴截面，将空间问题转化为平面问题．在轴截面中，球心在对称图形的轴线上．4．球的体积和表面积计算的关键在于求出半径，可用球的截面性质，借助题设给定的等量关系，建立关于球半径的方程来解题．