2020届高考数学一轮总复习 第八单元 立体几何 第50讲 空间几何体的结构及三视图、直观图课件 理

第50讲空间几何体的结构及三视图、直观图1．了解柱、锥、台、球的定义、性质及它们之间的关系．2．掌握柱、锥、台、球的结构特征．3．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等及其简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．1．柱、锥、台、球的结构特征名称结构特征图例棱柱两底面相互平行，其余各面都是平行四边形，侧棱平行且相等棱锥底面是多边形，各侧面均是三角形，各侧面有一个公共顶点名称结构特征图例棱台两底面相互平行；是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分圆柱两底面相互平行；侧面的母线平行于圆柱的轴；是以矩形的一边所在直线为轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体圆锥底面是圆；是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的几何体名称结构特征图例圆台两底面互相平行；是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分球球心到球面上各点的距离相等；是以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体2.三视图(1)正视图是光线自物体的正投影所得的投影图．俯视图是光线自物体的正投影所得的投影图．侧视图是光线自物体的正投影所得的投影图．(2)三视图的排列规则：先画正视图，俯视图画在正视图的，长度与正视图，侧视图则安排在正视图的，高度与正视图.前面向后面上方向下方左面向右面下方相等正右方相同3．直观图空间几何体的直观图常用来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于O′点，且使∠x′O′y′＝.②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中，分别画成的线段．③在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中，平行于y轴的线段，长度为.45°(或135°)平行于x′轴或y′轴保持原长度不变原来的一半斜二测法(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段在直观图中仍平行于z′轴且长度.(3)成图根据实际图形，顺次连接线段的端点，并整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改为虚线)，就得到了几何体的直观图．相等1．根据三视图确定直观图的常用结论(1)三视图为三个三角形，对应三棱锥；(2)三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；(3)三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥；(4)三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱柱；(5)三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱．2．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24.1．下列四个命题：①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②各个面都是三角形的几何体是三棱锥；③用一个平面去截棱锥，棱锥的底面与截面之间的部分是棱台；④两个面互相平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台．其中正确的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个解：①假，如棱台有两个面互相平行，其余各面是四边形；由图1至图3可知②、③、④都是错误的．答案：A2．下列说法正确的是()A．以直角三角形的一边为轴旋转所得到的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．以半圆的直径为轴旋转一周所得到的旋转体是球D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径解：A是错误的，以直角三角形的直角边．．．为轴旋转所得到的旋转体才是圆锥；B是错误的．以直角梯形的垂直于底．．．．的腰．．为轴旋转所得的旋转体是圆台；C是正确；D是错误的，圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长．故选C.答案：C3．下列几何体的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④解：圆锥和正四棱锥的正视图和侧视图都是等腰三角形．答案：C4.(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼．图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()解：由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.答案:A5．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，那么这个平面图形的面积是()A．1＋22B．1＋2C．2＋2D.12＋22解：先画出直观图：图(1)对应的平面图形：图(2)，可知平面图形是一个直角梯形，其中AD＝2，DC＝1，AB＝2＋1，所以其面积S＝1＋2＋12×2＝2＋2.答案:C空间几何体的结构特征空间几何体的三视图由三视图得到空间几何体的直观图考点1·空间几何体的结构特征【例1】(经典真题)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A．至多等于3B．至多等于4C．等于5D．大于5解：根据n的取值构造相应的几何图形或几何体求解．n＝2时，可以；n＝3时，为正三角形，可以；n＝4时，为正四面体，可以；n＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．答案：B【变式探究】1．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何体是(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解：作出正方体ABCD­A′B′C′D′.①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面直线对角线的四个端点构成的四面体，如B′­ACD′；⑤取D­B′BC时各面均为直角三角形．答案:①③④⑤点评：例1及变式1主要考查了空间想象能力和推理论证能力．根据题目特点善于构造几何图形和空间几何体是解决这类问题的关键．考点2·空间几何体的三视图【例2】(1)(经典真题)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O­xyz中的坐标分别为(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()解：(1)根据已知条件作出图形：四面体C1­A1OB，标出各个点的坐标如图(1)所示．可以看出以zOx平面为投影面，正视图是正方形，如图(2)所示．答案:A(2)(2016·天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()ABCD解：(2)先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧(左)视图．由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图②.①②答案：B【变式探究】2．(1)在如图所示的空间直角坐标系O­xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2).给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②解：(1)在空间直角坐标系中构建棱长为2的正方体，设A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)，则ABCD即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为④和②.答案：D(2)已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为()A.34B.32C.34D．1解:(2)由图可知其侧视图为三角形，根据三视图的“高平齐”得侧视图的高为3，又由“宽相等”可知侧视图的宽度和俯视图的宽度相等，得侧视图的底为1×sin60°＝32.所以侧视图的面积为S＝12×32×3＝34.答案:C点评：(1)解决三视图问题，要从以下几个方面加以把握：①搞清正视、侧视、俯视的方向，同一物体由于正视、侧视的方向不同或放置的位置不同，所画的三视图可能不同．②遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．③注意几何体中与投影面垂直或平行的线段在三视图中的特点．④要注意实线、虚线的画法，可视轮廓线画成实线，不可视的画成虚线．(2)画三视图时，要注意所给几何体与熟知的几何体的联系，如将几何体放置在正方体(或长方体)中或补形成正方体等，有利用发现线、面与投影面的位置关系，从而准确作出相应的三视图．考点3·由三视图得到空间几何体的直观图【例3】(经典真题)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A．62B．42C．6D．4解：(方法1)将三视图还原为几何体再计算，几何体为三棱锥．如图，侧面SBC⊥底面ABC.点S在底面ABC的射影点O是BC的中点，△ABC为直角三角形，因为AB＝4，BO＝2，所以AO＝20，SO⊥底面ABC，所以SO⊥AO，SO＝4，所以最长的棱AS＝20＋16＝6.(方法2：放到棱长为4的正方体中思考)．直观图如图所示的三棱锥A­BCD，因为AB＝BC＝4，易求得BS＝SC＝42＋22＝25，AC＝42，AS＝422＋22＝6，所以该三棱锥的最长的棱的长度为6.答案：C【变式探究】3.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10B．12C．14D．16解：观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的．直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2.故这些梯形的面积之和为2×12×(2＋4)×2＝12.答案：12点评：此类题求解的关键是把三视图转化为直观图．有的几何体是规则的(如：棱锥、棱柱、棱台、圆锥、圆柱、圆台)，可以直接还原其直观图．有的几何体是不规则的或是不熟悉的，如本题，若能把其放置到“正方体”中去研究，则比较容易发现各元素之间的位置关系和数量关系，从而较易将问题得到解决．1．与柱、锥、台、球有关的概念题，要结合其定义和结构特征，作出准确的判断，要说明命题是假命题，只需要举出一个反例即可．2．画三视图要注意“长对正、高平齐、宽相等”．3．三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化．