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第一篇集合与常用逻辑用语(必修1、选修2-1)返回导航高考考点、示例分布图命题特点1.本篇在高考中一般考查1或2个小题，主要以选择题为主，很少以填空题的形式出现，大约占5或10分．2.从考查内容来看，集合主要有两方面考查：一是集合间的关系；二是集合的运算，包含集合的交、并、补集运算，常用逻辑用语主要有四个方面考查：分别为命题及其关系、充分必要条件的判断、逻辑联结词“或”“且”“非”以及全称量词与存在量词．3.本篇一般不涉及解答题，在知识的交汇上往往以函数的定义域、值域、不等式的解集，曲线的点集为载体进行考查，难度不大.五年新课标全国卷试题分析第1节集合最新考纲1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算.返回导航【教材导读】1．集合元素的确定性与互异性的功能是什么？返回导航提示：可以用元素的确定性来判断一组对象能否构成集合，并且可以判断某个元素是否在集合内；若集合中含参数的问题，解题时要用“互异性”对所求参数进行检验．2．集合A＝{x|y＝x－1}与集合B＝{y|y＝x－1}是表示同一集合吗？与集合C＝{(x，y)|y＝x－1}呢？返回导航提示：均不是，因为A＝{x|y＝x－1}＝{x|x≥1}，而集合B＝{y|y＝x－1}＝{y|y≥0}．集合C表示点集，研究集合时首先需要看清代表元素．1．集合的概念与表示(1)集合中元素的三个特征：________、________、________．(2)元素与集合的关系有_______和________两种，表示符号为____和____.(3)集合的表示方法有_________、___________和维恩(Venn)图．(4)常见集合的符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号NN＋或N*ZQRC返回导航确定性互异性无序性属于不属于∈∉列举法描述法2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号表示集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B的元素A⊆B或________真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AAB或_______相等集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素A⊆B且B⊆A⇔A＝B空集空集是_______集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅B且B≠∅返回导航B⊇A任何3.集合的基本运算并集交集补集图形表示意义{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}∁UA＝{x|x∈U且x∉A}符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A(A⊆U)的补集为____返回导航【重要结论】1．对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.2．A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.返回导航1．(2018全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－x－20}，则∁RA＝()(A){x|－1x2}(B){x|－1≤x≤2}(C){x|x－1}∪{x|x2}(D){x|x≤－1}∪{x|x≥2}返回导航B解析：∵x2－x－20，∴(x－2)(x＋1)0，∴x2或x－1，即A＝{x|x2或x－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．由图可得∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.返回导航2．(2018全国Ⅱ卷)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()(A)9(B)8(C)5(D)4返回导航A解析：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.3．(2017全国卷)已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则()(A)A∩B＝{x|x＜0}(B)A∪B＝R(C)A∪B＝{x|x＞1}(D)A∩B＝∅返回导航A解析：集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x＜0}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选A.4．(2017山东卷)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝()(A)(1,2)(B)(1,2](C)(－2,1)(D)[－2,1)返回导航D解析：由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，故A∩B＝{x|－2≤x＜1}．5．下面结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)(1){1,2,3}＝{3,2,1}．(2)∅＝{0}．(3)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(4)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N.(5)若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x24}，则∁UP＝{2}．返回导航返回导航考点一集合的基本概念(1)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为()(A)4(B)3(C)2(D)1(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．(1)C解析：由题意知集合A表示圆，B表示一条直线．画出图形如图所示．由图可知有2个交点，故A∩B中共有2个元素．(2)解析：若m＋2＝3，则m＝1，此时A＝{3,3}，舍若2m2＋m＝3，则m＝1(舍)或m＝－32经验证m＝－32满足题意．返回导航答案：－32【反思归纳】(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．返回导航【即时训练】(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为()(A)3(B)4(C)5(D)6(2)已知a，b为两个不相等的实数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于()(A)1(B)2(C)3(D)4返回导航解析：(1)因为集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以当b＝4时，a＝1,2,3，此时x＝5,6,7.当b＝5时，a＝1,2,3，此时x＝6,7,8.所以根据集合元素的互异性可知，x＝5,6,7,8.即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素．故选B.(2)因为集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，所以a2－4a＝－2，b2－4b＋1＝－1，即a2－4a＋2＝0，b2－4b＋2＝0，因为a，b为两个不相等的实数，不妨设a＜b，解得a＝2－2，b＝2＋2，所以a＋b＝4.故选D.返回导航答案：(1)B(2)D考点二集合的基本关系(1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为()(A)7(B)8(C)15(D)16(2)已知集合A＝2x，y－1x，1，B＝{x2，x＋y,0}，若A＝B，则x＋y＝________.返回导航答案：(1)A(2)2答案：(1)A(2)2返回导航【反思归纳】(1)已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．(2)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．返回导航【即时训练】已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1},若B⊆A，则实数m的取值范围是________．返回导航解析：当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.当B≠∅时，若B⊆A，如图．则m＋1≥－2，2m－1≤7，m＋1＜2m－1，解得2＜m≤4.综上，m的取值范围为(－∞，4]．返回导航答案：(－∞，4]考点三集合的基本运算设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()(A){1，－3}(B){1,0}(C){1,3}(D){1,5}返回导航C解析：因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}，选C.【反思归纳】(1)有关集合的运算要注意以下两点：①要关注集合中的代表元素是什么．②要对集合先化简再运算，并且特别注意是否含端点．(2)有关集合的运算常有以下技巧：①离散的数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；②连续的数集的运算，常借助数轴求解；③已知集合的运算结果求集合，借助数轴或Venn图求解；④根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．返回导航【即时训练】(1)(2018昆明市昆十四中、官渡二中等七校模拟)设集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x＜1，且x∈Z}，则A∩B＝()(A){－1}(B){0}(C){－1,0}(D){0,1}(2)设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁RB)＝()(A)(1,4)(B)(3,4)(C)(1,3)(D)(1,2)∪(3,4)返回导航(3)设全集S＝{1,2,3,4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若∁SA＝{2,3}，则m＝________.返回导航(1)C解析：依题意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x＜1，x∈Z}＝{－1,0}，选C.(2)B解析：因为集合B＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以∁RB＝{x|x＞3或x＜－1}，所以A∩(∁RB)＝{x|3＜x＜4}．(3)4解析：因为S＝{1,2,3,4}，∁SA＝{2,3}，所以A＝{1,4}，即1,4是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.