2020届高考数学一轮复习 第五篇 数列 第3节 等比数列课件 理 新人教A版

第五篇数列(必修5)第3节等比数列最新考纲1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系.返回导航返回导航提示：可采用累积法推导．【教材导读】1．如何推导等比数列的通项公式？采用什么方法？2．b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？提示：必要而不充分条件，因为b2＝ac时，不一定有a，b，c成等比数列(如a＝0，b＝0，c＝1)，而a，b，c成等比数列，则必有b2＝ac.3．如何推导等比数列的前n项和公式？采用了什么方法？提示：可用错位相减法推导．1．等比数列的相关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于_______常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_____，公比通常用字母____(q≠0)表示．符号表示为________________，q为常数．(2)等比中项：如果三个数a，G，b成等比数列，则G叫做a和b的等比中项，那么Ga＝bG，即G2＝_____.返回导航同一个公比qab2．等比数列的通项公式(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，q≠0，则它的通项公式an＝_________.(2)通项公式的推广an＝am·_________.3．等比数列的前n项和公式返回导航a1qn－1qn－m4．等比数列的常见性质(1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a2k.(2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍然是等比数列．(3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.返回导航(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定构成等比数列．5．等比数列的单调性当q1，a10或0q1，a10时，{an}是递增数列；当q1，a10或0q1，a10时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列．返回导航6．等比数列与指数函数的关系当q≠1时，an＝a1q·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上．返回导航1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于()(A)－24(B)0(C)12(D)24返回导航A解析：由等比数列的性质和定义进行解题，由等比中项性质得(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，因x＋1≠0，得x＝－3.所以a4＝(6x＋6)·3x＋3x＝18·x＋12x＝－24.故选A.2．(2017全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()(A)1盏(B)3盏(C)5盏(D)9盏返回导航B解析：每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得a11－271－2＝381，解得a1＝3，选择B.3．已知a1，a2，…，an，…为各项均大于零的等比数列，公比q≠1，则()(A)a1＋a8＞a4＋a5(B)a1＋a8＜a4＋a5(C)a1＋a8＝a4＋a5(D)a1＋a8与a4＋a5的大小关系不能由已知条件确定返回导航A解析：(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1(1＋q7)－a1(q3＋q4)＝a1(1＋q7－q3－q4)＝a1(1－q3)(1－q4)．q＝anan－1＞0且q≠1，当q＞1时，q3＞1，q4＞1,1－q3＜0,1－q4＜0；当0＜q＜1时，q3＜1，q4＜1,1－q3＞0,1－q4＞0.总之a1(1－q3)(1－q4)＞0.∴a1＋a8＞a4＋a5.返回导航4．若正项等比数列{an}满足an＋2＝an＋1＋2an，则其公比为()(A)12(B)2或－1(C)2(D)－1返回导航C解析：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，若an＋2＝an＋1＋2an，则有anq2＝anq＋2an，即q2－q－2＝0，解可得q＝2或－1，由数列{an}为正项等比数列，可得q＝2，故选C.5．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q为________．返回导航解析：若q＝1，则Sn＝na1，∴{Sn}是等差数列；若q≠1，则当{Sn}是等差数列时，一定有2S2＝S1＋S3，∴2·a11－q21－q＝a1＋a11－q31－q，即q3－2q2＋q＝0，故q(q－1)2＝0，∴q＝0或q＝1，而q≠0，q≠1，∴此时不成立．返回导航答案：1返回导航考点一等比数列的基本运算(1)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，若an＞0，q＞1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝()(A)31(B)36(C)42(D)48解析：(1)解法一由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝4n－1.解法二由题意可设等比数列{an}的前3项分别为x4，x,4x，则x4＋x＋4x＝21，解得x＝4，所以等比数列{an}的通项公式为an＝a2qn－2＝4×4n－2＝4n－1.(2)a3a5＝a2a6＝64，因为a3＋a5＝20，所以a3和a5为方程x2－20x＋64＝0的两根，因为an＞0，q＞1，所以a3＜a5，所以a5＝16，a3＝4，所以q＝a5a3＝164＝2，所以a1＝a3q2＝44＝1，所以S5＝1－q51－q＝31.返回导航【反思归纳】等比数列基本运算的方法策略(1)将条件用a1，q表示，在表示Sn时要注意判断q是否为1；(2)解方程(组)求出a1，q，消元时要注意两式相除和整体代入；(3)利用a1，q研究结论．返回导航【即时训练】(1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3S6＝89，则an＋1an－an－1＝________(n≥2，且n∈N)．(2)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则S8等于()(A)255(B)256(C)510(D)511返回导航解析：(1)很明显等比数列的公比q≠1，则由题意可得：S3S6＝a11－q31－qa11－q61－q＝11＋q3＝89，解得：q＝12，则：an＋1an－an－1＝an－1q2an－1q－an－1＝q2q－1＝1412－1＝－12.返回导航(2)当n＝1时，a1＝2a1－2，据此可得：a1＝2，当n≥2时：Sn＝2an－2，Sn－1＝2an－1－2，两式作差可得：an＝2an－2an－1，则：an＝2an－1，据此可得数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，其前8项和为：S8＝2×1－281－2＝29－2＝510－2＝510.故选C.返回导航答案：(1)－12(2)C考点二等比数列的判定与证明已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝n.(1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列；(2)设c1＝a1且cn＝an－an－1(n≥2)，求{cn}的通项公式．返回导航(1)证明：由a1＋S1＝1及a1＝S1得a1＝12.又由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1.∴2(an＋1－1)＝an－1，即2bn＋1＝bn.∴数列{bn}是以b1＝a1－1＝－12为首项，12为公比的等比数列．返回导航(2)解：方法一：由(1)知2an＋1＝an＋1.∴2an＝an－1＋1(n≥2)，∴2an＋1－2an＝an－an－1，∴2cn＋1＝cn(n≥2)．又c1＝a1＝12，a2＋a1＋a2＝2，∴a2＝34.∴c2＝34－12＝14，c2＝12c1.∴数列{cn}是首项为12，公比为12的等比数列．∴cn＝12·12n－1＝12n.返回导航方法二：由(1)bn＝－12·12n－1＝－12n，∴an＝12n＋1.∴cn＝－12n＋1－－12n－1＋1＝12n－1－12n＝12n－11－12＝12n(n≥2)．又c1＝a1＝12也适合上式，∴cn＝12n.返回导航【反思归纳】等比数列的判定方法(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2)，则数列{an}是等比数列．(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式写成an＝c·qn(c、q均是不为0的常数，n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则数列{an}是等比数列．如果判定某数列不是等比数列，只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可．返回导航【即时训练】已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝23an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；(2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．返回导航解析：(1)假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a22＝a1a3，即23λ－32＝λ49λ－4，故49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ，即9＝0，这与事实相矛盾．所以对任意实数λ，数列{an}都不是等比数列．(2)因为bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1·23an－2n＋14＝－23(－1)n(an－3n＋21)＝－23bn，返回导航又b1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b1＝0(n∈N*)，此时{bn}不是等比数列；当λ≠－18时，b1＝－(λ＋18)≠0，则bn≠0，所以bn＋1bn＝－23(n∈N*)．故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．返回导航考点三等比数列的性质及应用(1)等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为()(A)1(B)2(C)3(D)5(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q＝________.返回导航解析：(1)因为{an}为等比数列，所以a5＋a7是a1＋a3与a9＋a11的等比中项，所以(a5＋a7)2＝(a1＋a3)(a9＋a11)，故a9＋a11＝a5＋a72a1＋a3＝428＝2；同理，a9＋a11是a5＋a7与a13＋a15的等比中项，所以(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15)，故a13＋a15＝a9＋a112a5＋a7＝224＝1.所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.返回导航(2)由S10S5＝3132，a1＝－1知公比q≠1，S10－S5S5＝－132.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－132，q＝－12.返回导航答案：(1)C(2)－12【反思归纳】在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n项和公式，建立方程(组)求解，但如果灵活运用等比数列的性质，可减少运算量，