2020届高考数学一轮复习 第五篇 数列 第2节 等差数列课件 理 新人教A版

第五篇数列(必修5)第2节等差数列最新考纲1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系.返回导航返回导航【教材导读】1．“a，A，b是等差数列”是“A＝a＋b2”的什么条件？提示：充分必要条件．2．如何推导等差数列的通项公式？提示：可用累加法．3．如何推导等差数列的前n项和公式？提示：利用倒序相加法推导．1．等差数列的相关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的____都等于________常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为______________(n≥2，n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A＝____________.返回导航差同一个an－an－1＝d2．等差数列的通项公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差为d，则其通项公式为an＝______________.(2)通项的推广：an＝am＋_________d.3．等差数列的前n项和公式(1)已知等差数列{an}的首项a1和第n项an，则其前n项和公式Sn＝____________.(2)已知等差数列{an}的首项a1与公差d，则其前n项和公式Sn＝_____________________.返回导航a1＋(n－1)d(n－m)4．等差数列{an}的性质(1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(其中m，n，p，q∈N*)，特别地，若p＋q＝2m，则ap＋aq＝______(p，q，m∈N*)．(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列．(3)若下标成等差数列，则相应的项也成等差数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)成等差数列．(4)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S2n－1＝(2n－1)an.返回导航2am5．等差数列的增减性与最值公差d0时为递____数列，且当a10时，前n项和Sn有最____值；d0时为递____数列，且当a10时，前n项和Sn有最____值．6．等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，(n，an)在一次函数y＝px＋q的图象上，即公差不为零的等差数列的图象是直线y＝px＋q上的均匀排开的一群孤立的点．当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀排开的一群孤立的点．返回导航增小减大【重要结论】1．等差数列{an}中，若am＝n，an＝m，则am＋n＝0.2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm＝Sn(m≠n)，则Sm＋n＝0.3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm＝n，Sn＝m，则Sm＋n＝－(m＋n)．返回导航1．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，若1an＋1为等差数列，则a11等于()(A)0(B)12(C)23(D)2返回导航B解析：由已知可得1a3＋1＝13，1a7＋1＝12分别是等差数列1an＋1的第3项和第7项，其公差d＝12－137－3＝124，由此可得1a11＋1＝1a7＋1＋(11－7)d＝12＋4×124＝23.解之得a11＝12.返回导航2．(2017全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()(A)1(B)2(C)4(D)8返回导航C解析：设等差数列{an}的公差为d，∴a1＋3d＋a1＋4d＝24，6a1＋6×52d＝48，∴d＝4，故选C.3．首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d的取值范围是()(A)(－3，＋∞)(B)－∞，－83(C)－3，－83(D)－3，－83返回导航D解析：由题意知a9≥0，a100，∴a9＝a1＋8d＝24＋8d≥0，d≥－3.a10＝a1＋9d＝24＋9d0，d－83.综上知－3≤d－83.故选D.返回导航4．设等差数列{an}的前10项和为20，且a5＝1，则{an}的公差为()(A)1(B)2(C)3(D)4返回导航B解析：等差数列{an}的前10项和为20，所以S10＝10a1＋a102＝5(a1＋a10)＝5(a5＋a6)＝20.所以a6＝4－a5＝3.则{an}的公差为a6－a5＝3－1＝2.故选B.5．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，S5＝25，则a8＝()(A)16(B)15(C)14(D)13返回导航B解析：设公差为d，由a2＝3，S5＝25可得a1＋d＝3,5a1＋5×42d＝25∴a1＝1，d＝2，则a8＝a1＋7d＝15.返回导航考点一等差数列的基本量运算(1)已知等差数列{an}中，a1010＝3，S2017＝2017，则S2018＝()(A)2018(B)－2018(C)－4036(D)4036(2)已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n＞3)，Sn＝100，则n的值为()(A)8(B)9(C)10(D)11(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S10＝110，则Sn＋64an的最小值为()(A)7(B)152(C)172(D)8返回导航解析：(1)由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得：S2017＝a1＋a20172×2017＝2a10092×2017＝2017a1009＝2017，则a1009＝1，据此可得：S2018＝a1＋a20182×2018＝1009(a1009＋a2010)＝1009×4＝4036.故选D.返回导航(2)由Sn－Sn－3＝51得，an－2＋an－1＋an＝51，所以an－1＝17，又a2＝3，Sn＝na2＋an－12＝100，解得n＝10.(3)设{an}的公差为d，由a2＝4，S10＝110得a1＋d＝4，10a1＋10×92d＝110，解得a1＝2，d＝2，故an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝2n＋nn－12×2＝n2＋n.返回导航所以Sn＋64an＝n2＋n＋642n＝n2＋32n＋12≥2n2·32n＋12＝172，当且仅当n2＝32n，即n＝8时取等号．故选C.返回导航【反思归纳】等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可知三求二．解决这些问题一般设基本量a1，d，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想．(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式Sn＝na1＋an2结合使用，体现整体代入的思想．返回导航【即时训练】(1)若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝()(A)12(B)13(C)14(D)15(2)已知在等差数列{an}中，a1＝20，an＝54，Sn＝3700，则数列的公差d，项数n分别为()(A)d＝0.34，n＝100(B)d＝0.34，n＝99(C)d＝3499，n＝100(D)d＝3499，n＝99返回导航(3)《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份的量为()(A)52(B)54(C)53(D)56返回导航解析：(1)B由题意得S5＝5a1＋a52＝5a3＝25，a3＝5，公差d＝a3－a2＝2，a7＝a2＋5d＝3＋5×2＝13.故选B.(2)C由an＝a1＋n－1dSn＝na1＋nn－1d2，得54＝20＋n－1d，3700＝20n＋nn－1d2，解得d＝3499，n＝100.故选C.返回导航(3)C易得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a1，公差为d，根据题意，有[20＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)]×17＝a1＋(a1＋d)，解得a1＝53.故选C.返回导航考点二等差数列的判断与证明已知Sn为等差数列{an}的前n项和，bn＝Snn(n∈N*)．求证：数列{bn}是等差数列．返回导航证明：设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋12n(n－1)d，∴bn＝Snn＝a1＋12(n－1)d.法一：bn＋1－bn＝a1＋12nd－a1－12(n－1)d＝d2(常数)，∴数列{bn}是等差数列．返回导航法二：bn＋1＝a1＋12nd，bn＋2＝a1＋12(n＋1)d，∴bn＋2＋bn＝a1＋12(n＋1)d＋a1＋12(n－1)d＝2a1＋nd＝2bn＋1.∴数列{bn}是等差数列．返回导航【反思归纳】判定数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一个常数；(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1；(3)通项公式法：数列的通项公式an是n的一次函数；(4)前n项和公式法：数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0.返回导航【即时训练】已知数列{an}的首项a1＝1，且点(an，an＋1)在函数f(x)＝x4x＋1的图象上，bn＝1an(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)试问数列{an}中ak·ak＋1(k∈N*)是否仍是{an}中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．返回导航解：(1)证明：由已知得an＋1＝an4an＋1，1an＋1＝4＋1an，∴1an＋1－1an＝4，即bn＋1－bn＝4，∴数列{bn}是以1为首项，4为公差的等差数列，∴数列{bn}的通项公式为bn＝1＋4(n－1)＝4n－3.又bn＝1an，故数列{an}的通项公式为an＝14n－3.返回导航(2)由(1)可得ak·ak＋1＝14k－3·14k＋1－3＝116k2－8k－3＝144k2－2k－3，∵4k2－2k＝2k(2k－1)∈N*，∴ak·ak＋1∈{an}，所以ak·ak＋1是数列{an}中的项，是第4k2－2k项．返回导航考点三等差数列的性质(1)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于()(A)0(B)37(C)100(D)－37返回导航(2)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是()(A)20(B)22(C)24(D)－8(3)等差数列{an}的前m项和为30，前3m项和为90，则它的前2m项和为________．返回导航解析：(1)设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以{an＋bn}为等差数列．又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{an＋bn}为常数列．所以a37＋b37＝100.(2)因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.(3)由Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可得2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，即S2m＝3Sm＋S3m3＝3×30＋903＝60.返回导航答案：(1)C(2)C(3)60【反思归纳】一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，m，p，q∈N*)．返回导航【即时训练】(1)等差数列{an}中，a1＋a7＝26，a3＋a9＝18，则数列{an}的前9项和为()(A)66(B)99(C)144(D)297(2)设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，且a10，若S5＝S9，则当Sn最大时，n等于()(A)6(B)7(C)8(D)9