2020届高考数学一轮复习 第五篇 数列 第1节 数列的概念与简单表示法课件 理 新人教A版

第五篇数列(必修5)返回导航高考考点、示例分布图命题特点1.高考在本篇一般命制2道小题或者1道解答题，分值占10～12分．2.高考对小题的考查一般以等差、等比数列的基本量运算、等差、等比数列的性质、数列的递推式等为主．3.解答题一般考查求数列的通项公式、等差等比数列的证明、错位相减法、裂项相消法、公式法求和等，其中裂项相消法常与不等式相结合.五年新课标全国卷试题分析第1节数列的概念与简单表示法最新考纲1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.返回导航返回导航【教材导读】1．数列an＝3n＋5与y＝3x＋5有何区别与联系？提示：an＝3n＋5是特殊的函数，其定义域为N*，而函数y＝3x＋5的定义域为R，an＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在函数y＝3x＋5的图象上．2．数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？返回导航提示：不唯一，如数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以为an＝(－1)n或an＝－1n为奇数，1n为偶数，有的数列没有通项公式．1．数列的定义按照___________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数______无穷数列项数_______返回导航一定顺序有限无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1an其中n∈N*递减数列an＋1an常数列an＋1＝an摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列返回导航3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是________、_________和_________．4．数列的函数特征从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的_________．5．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与__________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．返回导航列表法图象法解析法解析式序号n6．数列的递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)或an＝f(an－1，an－2)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．7．an与Sn的关系(1)Sn＝______________________.(2)若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1Sn－Sn－1n＝1，n≥2.返回导航a1＋a2＋…＋an1．下列可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是()(A)an＝1(B)an＝－1n＋12(C)an＝2－sinnπ2(D)an＝－1n－1＋32返回导航C解析：当n为奇数时，sinnπ2＝1，当n为偶数时，sinnπ2＝0.2．在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a1000等于()(A)5(B)－5(C)1(D)－1返回导航D解析：方法一：a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，……，故其周期为6，由此可得a1000＝a4＝a3－a2＝－a1＝－1.方法二：an＋2＝an＋1－an，an＋3＝an＋2－an＋1，两式相加可得an＋3＝－an，an＋6＝an，∴a1000＝a166×6＋4＝a4＝－a1＝－1.返回导航3．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于()(A)6116(B)259(C)2516(D)3115返回导航A解析：方法一：由已知得a1·a2＝22，∴a2＝4.a1·a2·a3＝32，∴a3＝94，a1·a2·a3·a4＝42，∴a4＝169，a1·a2·a3·a4·a5＝52，∴a5＝2516，∴a3＋a5＝94＋2516＝6116.返回导航方法二：由a1·a2·a3·…·an＝n2得a1·a2·a3·…an－1＝(n－1)2，∴an＝nn－12(n≥2)，∴a3＋a5＝322＋542＝6116.返回导航4．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2anan＋2(n∈N*)，则a5等于()A.25B.13C.23D.12返回导航B解析：a2＝23，a3＝2×2323＋2＝12，a4＝2×1212＋2＝25.a5＝2×2525＋2＝13，故选B.返回导航5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2－1，则a3＝______.返回导航解析：a3＝S3－S2＝(2×32－1)－(2×22－1)＝17－7＝10.答案：10返回导航考点一已知数列的前几项归纳数列的通项公式写出下列各数列的一个通项公式：(1)12，14，－58，1316，－2932，6164，…；(2)32，1，710，917，…；(3)0,1,0,1，….解：(1)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，因此an＝(－1)n·2n－32n.(2)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，因此可得它的一个通项公式为an＝2n＋1n2＋1.返回导航(3)an＝0n为奇数1n为偶数或an＝1＋－1n2或an＝1＋cosnπ2.返回导航【反思归纳】由前几项归纳数列通项公式的策略(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1来调整．返回导航【即时训练】写出下列数列的一个通项公式：(1)1,3,5,7，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)1,5,1,5,1,5，…；(4)9,99,999,9999，….返回导航解析：(1)这个数列的前4项都是序号的2倍减去1，所以它的一个通项公式为an＝2n－1.事实上，该数列是由连续的正奇数组成的．(2)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n1nn＋1.(3)已知数列可以变换为3－2,3＋2,3－2,3＋2，…，所以已知数列的一个通项公式为an＝3＋(－1)n·2.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1000－1,10000－1，所以它的一个通项公式为an＝10n－1.返回导航考点二根据递推公式求通项公式(1)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.(2)已知数列{an}中，a1＝1，(n＋1)an＝nan＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，则数列{an}的通项公式an＝________.返回导航(1)解析：由an＋2＋2an－3an＋1＝0，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝3·2n－1，∴n≥2时，an－an－1＝3·2n－2，…，a3－a2＝3·2，a2－a1＝3，将以上各式累加得an－a1＝3·2n－2＋…＋3·2＋3＝3(2n－1－1)，∴an＝3·2n－1－2(当n＝1时，也满足)．返回导航答案：3·2n－1－2(2)解析：由(n＋1)an＝nan＋1，可得an＋1an＝n＋1n.∴当n≥2时，anan－1＝nn－1，an－1an－2＝n－1n－2，…，a3a2＝32，a2a1＝2.将以上各式累乘求得ana1＝n，∴an＝n，而n＝1也适合．∴数列的通项公式为an＝n.返回导航答案：n(3)解：因为an＋1－an＝3n＋2，所以an－an－1＝3n－1(n≥2)，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n3n＋12(n≥2)．当n＝1时，a1＝2也符合上式，所以an＝32n2＋n2.返回导航【反思归纳】由数列递推式求通项公式常用方法累加法、累积法、构造法．形如an＝pan－1＋m(p，m为常数，p≠1，m≠0)时，构造等比数列；形如an＝an－1＋f(n)({f(n)}可求和)时，用累加法求解；形如anan＋1＝f(n)({f(n)}可求积)时，用累积法求解．形如an＋1＋an＝f(n)或an＋1·an＝f(n)时，可按奇偶项分类讨论．返回导航【即时训练】已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.返回导航解析：设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3.故an＋1＋3＝2(an＋3)．令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且bn＋1bn＝an＋1＋3an＋3＝2.所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列．所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3.考点三an与Sn关系的应用已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：返回导航(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.解：(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.(2)a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2·3n－1，n≥2.返回导航【反思归纳】(1)数列的通项an与前n项和Sn的关系是：an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.(2)由Sn求an时，要分n＝1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况能否用统一的式子表示，若不能，则分段表示．(3)给出Sn与an的关系求an时，利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式．返回导航【即时训练】已知数列{an}的前n项和Sn＝－12n2＋kn，k∈N*，且Sn的最大值为8.试确定常数k，并求数列{an}的通项公式．返回导航解析：因为Sn＝－12n2＋kn＝－12(n－k)2＋12k2，其中k是常数，且k∈N*，所以当n＝k时，Sn取最大值12k2，故12k2＝8，k2＝16，因此k＝4，从而Sn＝－12n2＋4n.当n＝1时，a1＝S1＝－12＋4＝72；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－12n2＋4n)－[－12(n－1)2＋4(n－1)]＝92－n.返回导航当n＝1时，92－1＝72＝a1，所以an＝92－n.返回导航考点四数列的单调性及其应用已知数列{an}的通项公式为an＝9nn＋110n，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最大项是多少？若没有，说明理由．返回导航解析：解法一an＋1－an＝9n＋1n＋210n＋1－9nn＋110n＝9n10n·8－n10，当n＜8时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；当n＝8时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n＞8时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an