2020届高考数学一轮复习 第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布 第3节 二项式定理课件 理 新

第十篇计数原理、概率、随机变量及其分布(必修3、选修2-3)第3节二项式定理最新考纲1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.返回导航返回导航【教材导读】1．(a＋b)n的展开式中字母a，b的结构特点是什么？提示：a为降幂排列、b为升幂排列，每项中a，b的幂指数之和等于n.2．CrnAn－rbr在二项式(a＋b)n的展开式中的位置如何？二项式系数与二项展开式中项的系数有何区别？提示：第r＋1项，二项式系数是指C0n，C1n，…，Cnn(组合数)，展开式中项的系数是指定字母的前提下，字母的系数．3．二项展开式中各项系数和是如何求得的？返回导航提示：在二项式及其展开式中对字母赋予特殊值，然后通过适当运算求得．1．二项式定理(1)二项式定理(a＋b)n＝C0nAn＋C1nAn－1b＋…＋CknAn－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)，这个公式叫做_______________．(2)二项式系数、二项式的通项在上式中它的右边的多项式叫做(a＋b)n的_____________，其中各项的系数Ckn(k∈{0,1,2，…，n})叫做______________，式中的__________叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝____________.返回导航二项式定理二项展开式二项式系数CAn－kbkCAn－kbk2．二项式系数的性质返回导航1.x2＋2x5的展开式中x4的系数为()(A)10(B)20(C)40(D)80返回导航C解析：x2＋2x5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5·(x2)5－r·2xr＝Cr5·2r·x10＝3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C25·22＝40.故选C.2．使得3x＋1xxn(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为()(A)4(B)5(C)6(D)7返回导航B解析：设3x＋1xxn(n∈N＋)的展开式的通项为Tr＋1，则：Tr＋1＝3n－rCrnxn－rx－32r＝3n－rCrnxn－52r，令n－52r＝0得：n＝52r，又n∈N＋，∴当r＝2时，n最小，即nmin＝5.故选B.3．(2018皖南八校)二项式x－2x6展开式中常数项为________．返回导航解析：二项式x－2x6展开式的通项为Tr＋1＝Cr6(x)6－r－2xr＝(－2)rCr6x6－r2－r，令6－r2－r＝0，解得r＝2，所以常数项为T3＝(－2)2C26＝60.答案：604．在(2＋43)50的展开式中，有理项的个数为________．返回导航解析：展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr50250－r2·3r4，展开式中有理项应使得50－r2，r4都为整数，即r被4整除，由于0≤r≤50，所以r＝0,4，…，48，共13个．答案：135．2n－C1n·2n－1＋C2n·2n－2＋…＋(－1)n－1Cn－1n·2＋(－1)n＝________.返回导航解析：由(2－1)n＝C0n·2n－C1n·2n－1＋C2n·2n－2＋…＋(－1)n－1Cn－1n·2＋(－1)nCnn，得2n－C1n·2n－1＋C2n·2n－2＋…＋(－1)n－1Cn－1n·2＋(－1)n＝1.答案：1返回导航考点一求二项展开式中的特定项或项的系数(1)(xy－yx)4的展开式中，x3y3项的系数为________．(2)设a＝0πsinxdx，则二项式ax－1x6的展开式中的常数项是________．(3)(x－124x)8的展开式中的有理项共有________项．解析：(1)二项展开式的通项是Tr＋1＝Cr4(xy)4－r·(－yx)r＝(－1)rCr4x4－r2y2＋r2，令4－r2＝2＋r2＝3，解得r＝2，故展开式中x3y3的系数为(－1)2C24＝6.(2)a＝0πsinxdx＝(－cosx)|π0＝2，所以二项展开式的通项是Tr＋1＝Cr6(2x)6－r(－1x)r＝Cr6·26－r·(－1)rx3－r.令3－r＝0，得r＝3，故二项展开式中的常数项是－C36×23＝－160.返回导航【反思归纳】求展开式中特定的项或者特定项的系数的基本思想是根据二项展开式的通项公式，确定该项的位置，然后进行具体的计算，注意方程思想的应用．返回导航【即时训练】(1)(x2＋3x－y)5的展开式中，x5y2的系数为()(A)－90(B)－30(C)30(D)90(2)m＝∫π2－π2(cosx－x＋3sin2x)dx，则x－12x3m的展开式中，常数项为________．返回导航解析：(1)(x2＋3x－y)5的展开式中通项公式：Tr＋1＝Cr5(－y)5－r(x2＋3x)r，令5－r＝2，解得r＝3，∴(x2＋3x)3＝x6＋3(x2)2·3x＋3x2×(3x)2＋(3x)3，∴x5y2的系数＝C35×9＝90，故选D.(2)m＝∫π2－π2(cosx－x＋3sin2x)dx＝(sinx－x22－3cos2x2)|π2－π2＝2，所以x－12x3m＝x－12x6，所以Tr＋1＝Cr6x6－r－12xr＝Cr6x6－32x－12r，由6－32r＝0得r＝4，因此常数项为C46－124＝1516.返回导航答案：(1)D(2)1516考点二二项式系数的性质、系数和(1)设2x＋1x(4x－1)9＝bx＋a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a0＋a12＋a222＋…＋a10210＝________.(2)设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…a11的值为()(A)－2(B)－1(C)1(D)2返回导航解析：(1)由题易知：b＝C99×(－1)9＝－1令x＝12，可得3＝2b＋a0＋a12＋a222＋…＋a10210∴a0＋a12＋a222＋…＋a10210＝5(2)令等式中x＝－1可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(1＋1)(－1)9＝－2，故选A.返回导航答案：(1)5(2)A【反思归纳】(1)解题中注意使用二项式系数的性质；(2)多个二项式相乘，其最高次数为各个二项展开式中最高次数之和，可以把其按照升幂或者降幂的形式表示为一般的多项式，这表示方法对解决系数和之类的问题很有用处；(3)注意特值法的应用．返回导航【即时训练】(1)x＋2xn的展开式的二项式系数之和为8，则展开式的常数项等于()(A)4(B)6(C)8(D)10(2)设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，那么a0＋a2＋a4a1＋a3＋a5的值为()(A)－122121(B)－6160(C)－244241(D)－1返回导航解析：(1)因为(x＋2x)n的展开式的各个二项式系数之和为8，所以2n＝8，解得n＝3，所以展开式的通项为Tr＋1＝Cr3(x)3－r2xr＝2rCr3x3－3r2，令3－3r2＝0，则r＝1，所以常数项为6.(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，①再令x＝－1，可得a0－a1＋a2＋－a3＋a4－a5＝35.②①＋②2，得a0＋a2＋a4＝122，①－②2，可得a1＋a3＋a5＝－121，返回导航故a0＋a2＋a4a1＋a3＋a5＝－122121.返回导航答案：(1)B(2)A考点三二项式定理的应用(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*)能被31整除；(2)求S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数；(3)根据下列要求的精确度，求1.025的近似值．(精确到0.01)．返回导航解析：(1)∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝25n－12－1＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝C0n×31n＋C1n×31n－1＋…＋Cn－1n×31＋Cnn－1＝31(C0n×31n－1＋C1n×31n－2＋…＋Cn－1n)，显然C0n×31n－1＋C1n×31n－2＋…＋Cn－1n为整数，∴原式能被31整除．返回导航(2)S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1＝9(C00×98－C19×97＋…＋C89)－2.∵C09×98－C19×97＋…＋C89是正整数，∴S被9除的余数为7.(3)1.025＝(1＋0.02)5＝1＋C15×0.02＋C25×0.022＋…＋C55×0.025≈1＋5×0.02＝1.10.返回导航【反思归纳】利用二项式定理解决整除问题的思路(1)观察除式与被除式间的关系．(2)将被除式拆成二项式．(3)结合二项式定理得出结论．返回导航【即时训练】利用二项式定理证明：当n∈N*时32n＋2－8n－9能被64整除．返回导航解析：32n＋2－8n－9＝9n＋1－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝8n＋1＋C1n＋1·8n＋C2n＋1·8n－1＋…＋Cn－1n＋1·82＋Cnn＋1·8＋1－8n－9＝82·(8n－1＋C1n－1·8n－2＋C2n＋1·8n－3＋…＋Cn－1n＋1)，而8n－1＋C1n＋1·8n－2＋C2n＋1·8n－3＋…＋Cn－1n＋1∈N*，所以32n＋2－8n－9能被64整除.二项展开式中项的系数教材源题：求x－1x9展开式中x3的系数．返回导航解：x－1x9的展开式的通项公式是Cr9x9－r－1xr＝(－1)rCr9x9－2r.依题意，得9－2r＝3，r＝3.因此，x3项的系数是(－1)3C39＝－84.【规律总结】求二项展开式中项的系数的步骤(1)以n，k写出一般的二项展开式的通项公式，并进行整理；(2)令字母的指数等于所求的字母的指数，求得k值，即可求得系数．该过程使用的是待定系数法，体现的是方程思想．返回导航【源题变式】(1)(2018天津卷)在x－12x5的展开式中，x2的系数为________．(2)(2018浙江卷)二项式3x＋12x8的展开式的常数项是________．返回导航解析：(1)x－12x5的展开式的通项为Tr＋1＝Cr5x5－r－12r·x－r2＝－12rCr5x5－3r2.令5－3r2＝2，解得r＝2.故展开式中x2的系数为－122C25＝52.(2)由题意，得Tr＋1＝Cr8·(3x)8－r·12xr＝Cr8·12r·x8－r3·x－r＝Cr8·12r·x8－4r3.令8－4r3＝0，得r＝2.返回导航因此T3＝C28×122＝8×72×14＝7.返回导航答案：(1)52(2)7