2020届高考数学一轮复习 第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布 第2节 排列与组合课件 理 新

第十篇计数原理、概率、随机变量及其分布(必修3、选修2-3)第2节排列与组合最新考纲1.理解排列组合的概念.2.理解排列数公式、组合数公式．3.能利用公式解决一些简单的实际问题.返回导航返回导航【教材导读】1．排列问题与组合问题的区别是什么？提示：排列问题中元素有顺序、顺序不同就是不同的排列，组合问题中元素没有顺序关系，只要元素相同就是相同的组合．2．排列数Amn计算结果有何特点？提示：Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)的右边第一个因数为n，后面每个因数都比前面的因数少1，最后一个因数是n－m＋1，共m个因数相乘．排列与组合排列与排列数组合与组合数定义排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，_________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_______________________叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素__________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_____________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数返回导航按照一定的顺序排成一列所有不同排列的个数合成一组所有不同组合的个数公式排列数公式Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！组合数公式Cmn＝AmnAmm＝nn－1n－2…n－m＋1m！＝n！m！n－m！性质Ann＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！；0！＝1C0n＝1；Cmn＝Cn－mn；Cmn＋Cm－1n＝Cmn＋1备注n，m∈N*且m≤n返回导航1．山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中A、B两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为()(A)12(B)24(C)36(D)48返回导航B解析：因为A，B两型号的种子试种方法数为2×2＝4种，所以一共有4A33＝24，故选B.2．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种法为()(A)85(B)56(C)49(D)28返回导航B解析：因为丙没有入选相当于从9人中选3人，共有选法C39＝84种，甲、乙都没入选相当于从7人中选3人，共有选法C37＝35种，所以满足条件的选法种法是84－35＝49.故选C.3．(2017泰安一模)某校开设A类课3门，B类课5门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()(A)15种(B)30种(C)45种(D)90种返回导航C解析：可分以下2种情况：①A类课选1门，B类课选2门，有C13C23种不同的选法；②A类课选2门，B类课选1门，有C23C15种不同的选法．所以根据分类计数原理知不同的选法共有C13C25＋C23C15＝30＋15＝45种．4．从1,3,5,7,9中任取三个数字，从2,4,6,8中任取两个数字，则可以组成没有重复数字的五位数的个数为________．返回导航解析：“先取元素后排列”，分三步完成：第一步，从1,3,5,7,9中取三个数，有C35种取法；第二步，从2,4,6,8中取两个数，有C24种取法；第三步，将取出的五个数全排列，有A55种排法．共有符合条件的五位数C35C24A55＝7200(个)．答案：72005．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有________种．返回导航解析：第一步，为甲校选1名女老师，有C12＝2(种)选法；第二步，为甲校选2名男教师，有C24＝6(种)选法；第三步，为乙校选1名女教师和2名男教师，有1种选法，故不同的安排方案共有2×6×1＝12(种)．答案：12返回导航考点一排列问题六个人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙之间间隔两人．(5)甲不站左端，乙不站右端．解析：(1)方法一：要使甲不站两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A14种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列，有A55种站法，据分步计数原理，共有站法A14·A55＝480(种)．方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2人站，有A25种站法，然后中间4人有A44种站法，据分步计数原理，共有站法A25·A44＝480(种)．方法三：若对甲没有限制条件共有A66种站法，甲站两端共有2A55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数即得所求的站法数共有A66－2A55＝480种．返回导航(2)先把甲、乙作为一个整体，看作一个人，有A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有A22种站法，据分步乘法计数原理，共有A55·A22＝240(种)站法．(3)因为甲、乙不相邻，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A44种；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空(含两端)中，有A25种，故共有站法为A44·A25＝480(种)．(4)先从甲、乙以外的4人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A24种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下的2人作全排列有A33种方法，最后对甲、乙进行排列，有A22种方法，故共有A24·A33·A22＝144种站法．返回导航(5)方法一：甲在左端的站法有A55种，乙在右端的站法有A55种，且甲在左端而乙在右端的站法有A44种，所以共有A66－2A55＋A44＝504种．方法二：以元素甲分为两类：①甲在右端有A55种；②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有A14·A14·A44种．据分类加法计数原理，故共有A55＋A14·A14·A44＝504种站法．返回导航【反思归纳】元素之间与顺序有关的问题是排列，解题中要分析元素之间是否与顺序有关．在有限制条件的排列问题中，要注意特殊元素和特殊位置，注意正确的分类和分步．【即时训练】(2017西安检测)8名游泳运动员参加男子100米的决赛，已知游泳池有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的8条泳道，若指定的3名运动员所在的泳道编号必须是3个连续数字(如：5,6,7)，则参加游泳的这8名运动员被安排泳道的方式共有()(A)360种(B)4320种(C)720种(D)2160种返回导航B解析：先从8个数字中取出3个连续的数字共有6种方法，将指定的3名运动员安排在这3个编号的泳道上，剩下的5名运动安排在其他编号的5条泳道上，共有6A33A55＝4320种安排方式．法二：先将所在的泳道编号是3个连续数字的3名运动员全排列，有A33种排法，然后把他们捆绑在一起当作一名运动员，再与剩余5名运动员全排列，有A66种排法，故共有A33A66＝4320种安排方式．返回导航考点二组合问题(1)从一架钢琴挑出的10个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为________(用数字作答)．(2)某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为()(A)360(B)520(C)600(D)720返回导航解析：(1)依题意共有8类不同的和声，当有k(k＝3,4,5,6,7,8,9,10)个键同时按下时，有Ck10种不同的和声，则和声总数为C310＋C410＋C510＋…＋C1010＝210－C010－C110－C210＝1024－1－10－45＝968.(2)根据题意，分2种情况讨论：若只有甲、乙其中一人参加，有C12·C35·A44＝480种情况；若甲、乙两人都参加，有C22·C25·A44＝240种情况，其中甲、乙相邻的有C22·C25·A33·A22＝120种情况．则不同的发言顺序的种数为480＋240－120＝600.返回导航答案：(1)968(2)C【反思归纳】如果元素之间与顺序无关则是组合问题，解题中要根据问题的具体情况辨别是组合问题还是排列问题．在含有限制条件的组合问题中要考虑特殊元素，进行必要的分类和分步，如果正面解答困难，可考虑使用间接法求解．返回导航【即时训练】男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名．选派5人外出比赛．在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员．返回导航解：(1)第一步：选3名男运动员，有C36种选法．第二步：选2名女运动员，有C24种选法．由分步乘法计数原理可得，共有C36·C24＝120(种)选法．(2)解法一至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理可得总选法有C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246(种)．解法二“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解．从10人中任选5人有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种．所以“至少有1名女运动员”的选法有C510－C56＝246(种)．返回导航(3)解法一(直接法)可分类求解：“只有男队长”的选法种数为C48；“只有女队长”的选法种数为C48；“男、女队长都入选”的选法种数为C38；所以共有2C48＋C38＝196(种)选法．解法二(间接法)从10人中任选5人有C510种选法．其中不选队长的方法有C58种．所以“至少有1名队长”的选法有C510－C58＝196(种)．(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C49种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法，其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时的选法共有C48－C45(种)．所以既有队长又有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191(种)．返回导航考点三排列组合的综合问题(1)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()(A)12种(B)18种(C)24种(D)48种(2)从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有()(A)42种(B)36种(C)72种(D)46种返回导航解：(1)甲、乙两机必须相邻着舰，则将甲、乙“捆绑”视作一整体，有2种着舰方法；丙、丁不能相邻着舰，则将剩余3机先排列，再将丙、丁“插空”．由于甲、乙“捆绑”视作一个整体，剩余3机实际排列方法共2×2＝4种，此时，有三个“空”供丙、丁选择，即3×2＝6种．由乘法原理，共有4×6＝24种着舰方法．故选C.返回导航(2)分以下几种情况：①取出的两球同色，有3种可能，取出球后则只能将两球放在不同色的袋子中，则共有A22种不同的方法，故不同的放法有3A22＝6种．②取出的两球不同色时，有一红一黄、一红一蓝、一黄一蓝3种取法，由于球不同，所以取球的方法数为3C12C12＝12种；取球后将两球放在袋子中的方法数有A22＋1＝3种，所以不同的放法有12×3＝36种．综上可得不同的放法有42种．选A.返回导航答案：(1)C(2)A【反思归纳】(1)“相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法”；(2)注意根据情况分类与分步；(3)分组分配问题中先分组再分配，注意均匀分组与不均匀分组．返回导航【即时训练】(1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()(A)300(B)216(C)180(D)162(2)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有