2020届高考数学一轮复习 第十二篇 坐标系与参数方程 第2节 参数方程课件 理 新人教A版

第十二篇坐标系与参数方程(选修4-4)第2节参数方程最新考纲1.了解参数方程及其参数的意义．2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.3.了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导它们的参数方程．4.了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用；了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.返回导航返回导航1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x＝ft，y＝gt，并且对于t的每一个允许值，上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为这条曲线的_________，其中变数t称为参变数，简称_____．参数方程参数2．直线、圆、椭圆的参数方程曲线参数方程过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线lx＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)圆心在点M0(x0，y0)，半径为R的圆x＝x0＋Rcosθ，y＝y0＋Rsinθ(θ为参数)圆心在原点，半径为R的圆x＝Rcosθ，y＝Rsinθ(θ为参数)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)返回导航3.直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t是参数)．若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cosα，y0＋t1sinα)，(x0＋t2cosα，y0＋t2sinα)．(2)|M1M2|＝|t1－t2|.返回导航(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝t1＋t22，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝t1＋t22.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.返回导航1．参数方程x＝3t2＋2，y＝t2－1(0≤t≤5)表示的曲线为()(A)线段(B)双曲线的一支(C)圆弧(D)射线返回导航A解析：参数方程化为普通方程为x＝3(y＋1)＋2，即x－3y－5＝0，由于x＝3t2＋2∈[2,77]，故曲线为线段．故选A.2．若直线l：x＝2t，y＝1－4t(t为参数)与曲线C：x＝5cosθ，y＝m＋5sinθ(θ为参数)相切，则实数m为()(A)－4或6(B)－6或4(C)－1或9(D)－9或1返回导航A解析：由x＝2t，y＝1－4t(t为参数)，得直线l：2x＋y－1＝0，由x＝5cosθ，y＝m＋5sinθ(θ为参数)，得曲线C：x2＋(y－m)2＝5，因为直线l与曲线C相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m－1|22＋1＝5，解得m＝－4或m＝6.故选A.返回导航3．在平面直角坐标系中，曲线C：x＝2＋22t，y＝1＋22t(t为参数)的普通方程为________．返回导航解析：直接化简，两式相减消去参数t，得x－y＝1，整理得普通方程为x－y－1＝0.答案：x－y－1＝04．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为x＝1＋35ty＝45t(t为参数)与曲线C的参数方程y＝4k2y＝4k(k为参数)交于A、B两点，则线段AB长为________．返回导航解析：由题意知l的方程为4x－3y－4＝0，曲线C方程为y2＝4x，由4x－3y－4＝0y2＝4x解得A(14，－1)，B(4,4)，所以|AB|＝254返回导航答案：2545．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C2的参数方程为x＝t2，y＝22t(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．返回导航解析：将极坐标方程、参数方程转化为普通方程，联立求得交点坐标，或只将直线的极坐标方程转化为普通方程，再把曲线的参数方程代入直线的普通方程求交点坐标．由ρ(cosθ＋sinθ)＝－2得x＋y＝－2.方法一：由x＝t2，y＝22t，得y2＝8x，联立x＋y＝－2，y2＝8x，得x＝2，y＝－4，即交点坐标为(2，－4)．返回导航方法二：把x＝t2，y＝22t代入x＋y＋2＝0得t2＋22t＋2＝0，解得t＝－2，∴x＝2，y＝－4，即交点坐标为(2，－4)．返回导航答案：(2，－4)返回导航考点一参数方程与普通方程的互化设直线l的参数方程为x＝3＋tcosα，y＝4＋tsinα(t为参数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为x＝1＋2cosθ，y＝－1＋2sinθ(θ为参数)．(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．解析：(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，－1)，所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k＝52.(2)解法一由圆C的参数方程x＝1＋2cosθ，y＝－1＋2sinθ，得圆C的圆心是C(1，－1)，半径为2.由直线l的参数方程x＝3＋tcosα，y＝4＋tsinα(t为参数，α为倾斜角)，得直线l的普通方程为y－4＝k(x－3)(斜率存在)，即kx－y＋4－3k＝0.返回导航当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即|5－2k|k2＋1＜2，解得k＞2120.即直线l的斜率的取值范围为2120，＋∞.解法二将圆C的参数方程x＝1＋2cosθ，y＝－1＋2sinθ化成普通方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4，①将直线l的参数方程代入①式，得t2＋2(2cosα＋5sinα)t＋25＝0.②返回导航当直线l与圆C交于两个不同的点时，方程②有两个不相等的实根，即Δ＝4(2cosα＋5sinα)2－100＞0，即20sinαcosα＞21cos2α，两边同除以20cos2α，得tanα＞2120，即直线l的斜率的取值范围为(2120，＋∞)．返回导航【反思归纳】(1)将参数方程化为普通方程的基本途径就是消参，消参过程注意两点：一是准确把握参数形式之间的关系；二是注意参数取值范围对曲线形状的影响．(2)已知曲线的普通方程求参数方程时，选取不同含义的参数时可能得到不同的参数方程．返回导航【即时训练】已知曲线C的方程y2＝3x2－2x3，设y＝tx，t为参数，求曲线C的参数方程．返回导航解：将y＝tx代入y2＝3x2－2x3，得t2x2＝3x2－2x3，即2x3＝(3－t2)x2.当x＝0时，y＝0；当x≠0时，x＝3－t22，从而y＝3t－t32.因为原点(0,0)也满足x＝3－t22，y＝3t－t32，所以曲线C的参数方程为x＝3－t22，y＝3t－t32(t为参数)．返回导航考点二参数方程及其应用(1)P是以原点为圆心，r＝2的圆上的任意一点，Q(6,0)，M是PQ中点．①画图并写出⊙O的参数方程；②当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程．(2)在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆x23＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值．返回导航解析：(1)①如图，⊙O的参数方程x＝2cosθy＝2sinθ，②设M(x，y)，P(2cosθ，2sinθ)，因Q(6,0)，∴M的参数方程为x＝6＋2cosθ2y＝2sinθ2，即x＝3＋cosθy＝sinθ.返回导航(2)由椭圆x23＋y2＝1的参数方程为x＝3cosφy＝sinφ，(φ为参数)，故可设动点P的坐标为(3cosφ，sinφ)，其中0≤φ≤2π.因此，S＝x＋y＝3cosφ＋sinφ＝2·32cosφ＋12sinφ＝2sinφ＋π3，所以当φ＝π6时，S取得最大值2.返回导航【反思归纳】一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了．返回导航【即时训练】已知过点P(0，－1)的直线的参数方程为x＝12ty＝－1＋32t(为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为2asinθ－ρcos2θ＝0(a＞0)．(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线与曲线C分别交于点M，N，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．返回导航解析：(1)∵2asinθ－ρcos2θ＝0，∴2aρsin2θ－ρ2cos2θ＝0，将ρcosθ＝x，ρsinθ＝y代入上式可得x2＝2ay(a＞0)，∴曲线C的直角坐标方程x2＝2ay(a＞0)．(2)将x＝12ty＝－1＋32t代入x2＝2ay消去x，y整理得t2－43at＋8a＝0，∵直线与抛物线交于两点，∴Δ＝(－43a)2－4×8a＞0，返回导航又a＞0，∴a＞23.设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝43a，t1t2＝8a.∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|MN|2＝|PM|·|PN|，即|t1－t2|2＝t1t2，∴(t1＋t2)2－4t1t2＝t1t2，即(43a)2－40a＝0，解得a＝56或a＝0(舍去)∴a＝56.返回导航考点三极坐标方程与参数方程的综合应用在直角坐标系xOy中，已知点P(1，－2)，直线l：x＝1＋t，y＝－2＋t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ，直线l和曲线C的交点为A，B.(1)求直线l和曲线C的普通方程；(2)求|PA|＋|PB|.返回导航解析：(1)直线l：x＝1＋t，y＝－2＋t(t为参数)，消去t，可得直线l的普通方程为x－y－3＝0，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ，即为ρ2sin2θ＝2ρcosθ，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得曲线C的普通方程为y2＝2x.(2)直线l的标准参数方程为l：x＝1＋22t，y＝－2＋22t(t为参数)，代入曲线C：y2＝2x，可得t2－62t＋4＝0，有t1＋t2＝62，t1t2＝4，则|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝62.返回导航【反思归纳】极坐标方程与参数方程综合问题的求解，一般要将其分别转化为直角坐标方程与普通方程，进而统一形式进行求解，要注意转化过程的等价性，特别是参数取值范围问题．返回导航【即时训练】在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρ2－4ρcosθ＋3＝0，θ∈[0,2π)，曲线C2：ρ＝34sinπ6－θ，θ∈[0,2π)．(1)求曲线C1的一个参数方程；(2)若曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求|AB|的值．返回导航解析：(1)由ρ2－4ρcosθ＋3＝0可得，x2＋y2－4x＋3＝0.即(x－2)2＋y2＝1.令x－2＝cosα，y＝sinα，则C1的一个参数方程为x＝2＋cosα，y＝sinα(α为参数，α∈R)．返回导航(2)C2：4ρ(sinπ6cosθ－cosπ6sinθ)＝3，∴412x－32y＝3，即2x－23y－3＝0.∵圆心到直线的距离d＝14，∴直线2x－23y－3＝0与圆(x－2)2＋y2＝1相交于A，B两点，∴|AB|＝2×1－142＝2×154＝152.返回导航参数方程与极坐标方程的综合应用在平面直角坐标系xOy中，圆O的方程为x2＋y2＝4，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ2cos2θ＝1.(1)求圆O的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知M，N是曲线C与x轴的两个交点，点P为圆O上的任意一点，证明：|PM|2＋|PN|2为定值．返回导航审题点拨关键点所获信息曲线O是圆化曲线C方程