2020届高考数学一轮复习 第三篇 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理和余弦定理及其应用课件 理

第三篇三角函数、解三角形(必修4、必修5)第6节正弦定理和余弦定理及其应用最新考纲1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.返回导航返回导航提示：利用余弦定理可判断出最大边所对的角的余弦值的正负，从而判断出三角形是锐角三角形，钝角三角形还是直角三角形．【教材导读】1．已知△ABC中的三边，如何判断三角形的形状？2．在三角形ABC中，“AB”是“sinAsinB”的什么条件？“AB”是“cosAcosB”的什么条件？提示：在三角形ABC中，“AB”是“sinAsinB”的充要条件，“AB”是“cosAcosB”的充要条件．3．在三角形ABC中，“a2＋b2c2”是“△ABC为钝角三角形”的什么条件？“a2＋b2c2”是“△ABC为锐角三角形”的什么条件？返回导航提示：“a2＋b2c2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件，“a2＋b2c2”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2R(其中R是△ABC外接圆半径)a2＝____________________；b2＝____________________；c2＝____________________返回导航b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC变形形式a＝2RsinA，b=___________，c＝__________；sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；a∶b∶c＝sinA∶_______∶sinC；asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝___________；cosB＝___________；cosC＝___________返回导航2RsinB2RsinCsinB解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他角和边返回导航2.三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝12absinC＝____________＝12acsinB；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．返回导航3．解三角形在测量中的常见题型(1)利用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．(2)有关测量中的几个术语①仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫______，目标视线在水平视线下方时叫______．(如图(1)所示)返回导航仰角俯角②方位角：一般指从正北方向顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向．③坡角：坡面与水平面的夹角．④坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i＝hl＝tanα(i为坡比，α为坡角)．(如图(2)所示)返回导航返回导航【重要结论】在△ABC中，常有以下结论：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sinA＋B2＝cosC2；cosA＋B2＝sinC2.(4)tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.(5)∠A＞∠B⇔a＞b⇔sinA＞sinB⇔cosA＜cosB.返回导航1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()(A)－223(B)223(C)－63(D)63返回导航B解析：由正弦定理得15sin60°＝10sinB，∴sinB＝10sin60°15＝10×3215＝33.∵a＞b，，A＝60°，∴B为锐角，∴cosB＝1－sin2B＝1－332＝63.故选D.返回导航2．在△ABC中，A＝π3，BC＝3，AB＝6，则C等于()(A)π4或3π4(B)3π4(C)π4(D)π6返回导航C解析：BC＝a＝3，AB＝c＝6，由正弦定理，得sinC＝csinAa＝22，又a＝3，c＝6，所以a＞c，即A＞C，故C为锐角．所以C＝π4.返回导航3．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为()(A)32(B)3(C)23(D)2返回导航B解析：S＝12×AB·ACsin60°＝12×2×32AC＝32，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝3.故选B.4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2ccosA，c＝2bcosA，则△ABC的形状为()(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形返回导航C解析：由正弦定理，得sinB＝2sinCcosA，sinC＝2sinBcosA，即sin(A＋C)＝2sinCcosA＝sinAcosC＋cosAsinC，即sinAcosC－cosAsinC＝0，所以sin(A－C)＝0，A＝C，同理可得A＝B，所以三角形为等边三角形．故选C.5．下列说法正确的是________．①三角形中三边之比等于相应的三个内角之比；②在△ABC中，若sinAsinB，则AB；③在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素；④面积公式中S＝12bcsinA＝12absinC＝12acsinB，其实质就是面积公式S＝12ah＝12bh＝12ch(h为相应边上的高)的变形；⑤在△ABC中，若b2＋c2a2，则此三角形是锐角三角形．返回导航解析：①错误．若三内角A，B，C分别为π6，π3，π2，比为1∶2∶3，而对应边的比为1∶3∶2.②正确．由正弦定理知sinA＝a2R，sinB＝b2R，由sinAsinB得ab，即AB.③错误．当已知三个角时不能求三边．④正确．如S＝12absinC＝12ah(h＝bsinC)，h即为边a上的高．⑤满足b2＋c2a2，还可能满足b2≥a2＋c2或c2≥a2＋b2则三角形不是锐角三角形．返回导航答案：②④返回导航考点一正、余弦定理的应用考查角度1：利用正、余弦定理解三角形．(1)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若b＝1，c＝3，∠C＝2π3，则△ABC的面积为________．(2)在△ABC中，A＝2π3，a＝3c，则bc＝________.解析：(1)因为c2＝a2＋b2－2abcos2π3，所以3＝a2＋1＋a，a2＋a－2＝0，∴a＝1因此S＝12absin2π3＝12×1×1×32＝34.(2)∵a＝3c，∴sinA＝3sinC，∵A＝2π3，∴sinA＝32，∴sinC＝12，又C必为锐角，∴C＝π6，∵A＋B＋C＝π，∴B＝π6，∴B＝C，∴b＝c，∴bc＝1.返回导航【反思归纳】利用正、余弦定理解三角形关键是根据已知条件及所求结论确定三角形及所需应用的定理，有时需结合图形分析求解，有时需根据三角函数值的有界性、三角形中大边对大角等确定解的个数．返回导航考查角度2：与三角形面积有关的问题．(2017全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为a23sinA.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．返回导航解析：(1)由题设得12acsinB＝a23sinA，即12csinB＝a3sinA.由正弦定理得12sinCsinB＝sinA3sinA.故sinBsinC＝23.返回导航(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－12，即cos(B＋C)＝－12.所以B＋C＝2π3，故A＝π3.由题设得12bcsinA＝a23sinA，即bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝33.故△ABC的周长为3＋33.返回导航【反思归纳】在解三角形的题目中，要有意识地考虑哪个定理更适合，或两个定理都要用，要抓住能用某个定理的关键点．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理．返回导航考点二利用正、余弦定理判定三角形形状在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，且直线bx＋ycosA＋cosB＝0与ax＋ycosB＋cosA＝0平行，则△ABC一定是()(A)锐角三角形(B)等腰三角形(C)直角三角形(D)等腰或直角三角形返回导航解析：解法一由两直线平行可知bcosB－acosA＝0，由正弦定理可知sinBcosB－sinAcosA＝0，即12sin2B－12sin2A＝0，故2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝π2.若A＝B，则a＝b，cosA＝cosB，两直线重合，不符合题意，故A＋B＝π2，即△ABC是直角三角形．返回导航解法二由两直线平行可知bcosB－acosA＝0，由余弦定理，得a·b2＋c2－a22bc＝b·a2＋c2－b22ac，所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2.若a＝b，则两直线重合，不符合题意，故a2＋b2＝c2，即△ABC是直角三角形．返回导航答案：C【反思归纳】判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．返回导航【即时训练】(1)在△ABC中，若sin(A＋B)·sin(A－B)＝sin2C，则此三角形形状是()(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形(2)在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()(A)等边三角形(B)直角三角形(C)等腰三角形或直角三角形(D)等腰直角三角形返回导航解析：(1)由A＋B＝π－C得sin(A＋B)＝sinC，则原式sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C可化为sin(A－B)＝sin(A＋B)⇒sinAcosB－cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，整理得cosAsinB＝0.因为0＜A＜π，所以A＝π2，即此三角形为直角三角形．故选B.返回导航(2)因为cos2B2＝a＋c2c，所以2cos2B2－1＝a＋cc－1，所以cosB＝ac，所以a2＋c2－b22ac＝ac，所以c2＝a2＋b2.所以△ABC为直角三角形．故选B.返回导航考点三用正、余弦定理解决实际问题如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．记∠AMN＝θ.(1)将AN，AM用含θ的关系式表示出来；(2)如何设计(即AN，AM为多长时)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?返回导航解析：(1)∠AMN＝θ，在△AMN中，由正弦定理得MNsin60°＝ANsinθ＝AMsin120°－θ.所以AN＝433sinθ，AM＝433sin(120°－θ)．(2)AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝163sin2(θ＋60°)＋4－1633sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＝83[1－cos(2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4返回导航＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋1