2020届高考数学一轮复习 第三篇 三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式课件

第三篇三角函数、解三角形(必修4、必修5)第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.返回导航返回导航【教材导读】1．同角三角函数的基本关系中，对任意角均成立吗？提示：在tanα＝sinαcosα的关系中，须保证tanα有意义，所以须使α≠π2＋kπ，k∈Z.2．诱导公式的功能是什么？提示：负角化正角，大角化小角，再求值．1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系sin2α＋cos2α＝______；(2)商数关系tanα＝__________.返回导航12．诱导公式组序一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosα_______余弦cosα－cosαcosα_______sinα－sinα正切tanαtanα－tanα_______返回导航cosα－cosα－tanα【重要结论】诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·π2＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·π2＋α中，将α看成锐角时k·π2＋α所在的象限．返回导航1．已知α和β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－π3，则sinα等于()(A)－32(B)32(C)－12(D)12返回导航D解析：因为α和β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋π2(k∈Z)．又β＝－π3，所以α＝2kπ＋5π6(k∈Z)，即得sinα＝12.故选D.2．已知f(α)＝sinπ－α·cos2π－αcos－π－α·tanπ－α，则f－25π3的值为()(A)12(B)－12(C)32(D)－32返回导航A解析：∵f(α)＝sinαcosα－cosα·－tanα＝sinαtanα＝cosα，∴f(－25π3)＝cos(－25π3)＝cos－π3＝12.故选A.3．若α＝11π3，则tanα·cosα等于()(A)12(B)－12(C)－32(D)32返回导航C解析：若α＝113π，tanα·cosα＝sinαcosα·cosα＝sinα＝sin113π＝sin4π－π3＝－sinπ3＝－32.故选C.4．已知a∈π2，π，sinα＝45，则tanα＝________.返回导航解析：因为a∈π2，π，所以cosα＝－1－sin2α＝－35，所以tanα＝sinαcosα＝－43.答案：－435．已知sinxcosx＝38，且x∈π4，π2，则cosx－sinx＝________.返回导航解析：因为x∈π4，π2，所以sinxcosx，即cosx－sinx0，所以(cosx－sinx)2＝1－2sinxcosx＝14，所以cosx－sinx＝－12.答案：－12返回导航考点一同角三角函数的基本关系(1)已知α∈π，3π2，tanα＝2，则cosα＝________.(2)已知sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，则sin2α－sinαcosα的值是()(A)25(B)－25(C)－2(D)2解析：(1)依题意得tanα＝sinαcosα＝2，sin2α＋cos2α＝1，由此解得cos2α＝15；又α∈π，3π2，因此cosα＝－55.(2)由sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5得tanα＋33－tanα＝5，即tanα＝2.所以sin2α－sinαcosα＝sin2α－sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α－tanαtanα＋1＝25.返回导航答案：(1)－55(2)A【反思归纳】同角三角函数关系式的应用技巧(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.(3)sinα，cosα的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sinα，cosα的齐次式，或含有sin2α，cos2α及sinαcosα的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”后求解．返回导航【即时训练】已知角α的始终与x轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P(3,4)，则sinα＋2cosαsinα－cosα＝________.返回导航答案：10考点二三角函数的诱导公式(1)化简sinkπ－α·cos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]·coskπ＋α，k∈Z；(2)已知sinα＝255，求tan(α＋π)＋sin5π2＋αcos5π2－α；(3)化简tanπ－αcos2π－αsin－α＋3π2cos－α－πsin－π－α.返回导航解：(1)当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝sin2nπ＋π－α·cos2nπ－αsin2nπ＋2π＋α·cos2nπ＋π＋α＝sinπ－α·cosαsinα·cosπ＋α＝sinα·cosαsinα·－cosα＝－1；当k＝2n(n∈Z)时，原式＝sin2nπ－α·cos2nπ－π－αsin2nπ＋π＋α·cos2nπ＋α＝－sinα·－cosα－sinα·cosα＝－1.所以原式＝sinkπ－α·cos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]·coskπ＋α＝－1.返回导航(2)∵sinα＝255＞0，∴α为第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝55，tan(α＋π)＋sin5π2＋αcos5π2－α＝tanα＋cosαsinα＝sinαcosα＋cosαsinα＝1sinαcosα＝52.当α是第二象限角时，cosα＝－1－sin2α＝－55，原式＝1sinαcosα＝－52.返回导航(3)方法一：原式＝－tanα·cos[π＋π－α]·sinπ＋π2－αcosπ＋α·[－sinπ＋α]＝－tanα·[－cosπ－α]·－sinπ2－α－cosα·sinα＝－tanα·cosα·－cosα－cosα·sinα＝－tanα·cosαsinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.返回导航方法二：原式＝－tanα·cos－α·sin－α－π2cosπ－α·sinπ－α＝tanα·cosα·sinα＋π2－cosα·sinα＝sinαcosα·cosα－sinα＝－1.返回导航【反思归纳】利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．返回导航【即时训练】已知sin(3π＋θ)＝13，求cosπ＋θcosθ[cosπ－θ－1]＋cosθ－2πsinθ－3π2cosθ－π－sin3π2＋θ的值．返回导航答案：18考点三诱导公式与同角关系的综合应用(高频考点)已知sinθ、cosθ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根．求：(1)cos3π2－θ＋sin3π2＋θ的值；(2)tan(π－θ)－1tanθ的值．返回导航解：由已知原方程判别式Δ≥0，即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.又sinθ＋cosθ＝a，sinθcosθ＝a，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，即a2－2a－1＝0，∴a＝1－2或a＝1＋2(舍去)，∴sinθ＋cosθ＝sinθcosθ＝1－2.返回导航(1)cos3π2－θ＋sin3π2＋θ＝sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.(2)tan(π－θ)－1tanθ＝－tanθ－1tanθ＝－tanθ＋1tanθ＝－sinθcosθ＋cosθsinθ＝－1sinθcosθ＝－11－2＝2＋1.返回导航答案：(1)2－2(2)2＋1【反思归纳】熟练运用诱导公式和同角三角函数基本关系，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．返回导航【即时训练】(1)若α为三角形的一个内角，且sinα＋cosα＝23，则这个三角形是()(A)正三角形(B)直角三角形(C)锐角三角形(D)钝角三角形(2)若sinα＋π6＝－513，且α∈π2，π，则sinα＋2π3＝________.返回导航解析：(1)因为(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝49，所以sinαcosα＝－5180，所以α为钝角．故选D.(2)因为π2απ，所以2π3α＋π67π6，cosα＋π6＝－1－－5132＝－1213，而sinα＋2π3＝sinπ2＋α＋π6＝cosα＋π6＝－1213.返回导航答案：(1)D(2)－1213同角关系与诱导公式结合解题教材源题：化简：(1)cosα－π2sin52π＋α·sin(α－2π)·cos(2π－α)；(2)cos2(－α)－tan360°＋αsin－α.返回导航解：(1)原式＝cosπ2－αsinπ2＋α·sinα·cosα＝sinαcosα·sinα·cosα＝sin2α.(2)原式＝cos2α－tanα－sinα＝cos3α＋1cosα.返回导航【规律总结】三角函数式化简目标方向(1)用同角关系中切弦互化，统一函数名．(2)用诱导公式统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．返回导航【源题变式】(2018淮南模拟)已知f(x)＝sin2π－x·cos32π＋xcos3π－x·sin112π－x，则f－21π4＝________.返回导航解析：因为f(x)＝sin－x·sinxcosπ－x·sin6π－π2＋x＝sin2xcosx－sinπ2＋x＝sin2x－cos2x＝－tan2x.所以f－214π＝－tan2－214π＝－tan2－5π－π4＝－tan2－π4＝－1.返回导航答案：－1