2020届高考数学一轮复习 第三篇 三角函数、解三角形 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数课件

第三篇三角函数、解三角形(必修4、必修5)返回导航高考考点、示例分布图命题特点1.从高考题型、题量来看，一般有两种方式：三个小题或一个小题另加一个解答题，分值上大约占17分左右．2.客观题主要考查：三角函数的定义，图象与性质同角三角函数关系，诱导公式和，差，倍角公式，正，余弦定理等知识．3.难度较大的客观题，主要在知识点的交汇处命制，如向量与三角的结合、正、余弦定理与三角恒等变换的结合等，主要考查数形结合、转化与化归思想．4.解答题涉及知识点较为综合．在一个解答题中涉及三角函数图象与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见.五年新课标全国卷试题分析第1节任意角和弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．返回导航返回导航【教材导读】1．相等角的终边一定相同，终边相同的角一定相等吗？提示：不一定，因为终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．2．若已知角α终边上任意一点P(x，y)(原点除外)，你能用x、y表示角α的正弦、余弦、正切吗？提示：能，sinα＝yx2＋y2，cosα＝xx2＋y2，tanα＝yx(x≠0)，当x＝0时，tanα不存在．1．角的有关概念(1)角的形成角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置______到另一个位置所成的_______．返回导航旋转图形返回导航(3)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝___________________}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．2．弧度制(1)定义长度等于_________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.返回导航α＋k·360°，k∈Z半径长(2)公式角α的弧度数公式|α|＝_____(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝_______rad②1rad＝180π°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝12l·r＝12|α|·r2返回导航(3)规定正角的弧度数是一个______，负角的弧度数是一个______，零角的弧度数是0.3．任意角的三角函数(1)定义设角α终边与单位圆交于P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx(x≠0)．(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦．返回导航正数负数(3)几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的________、余弦线、_________．返回导航正弦线正切线返回导航返回导航(4)终边相同的角的三角函数：sin(α＋k·2π)＝_______，cos(α＋k·2π)＝______，tan(α＋k·2π)＝_______(其中k∈Z)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．返回导航sinαcosαtanα1．喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是()(A)30°(B)－30°(C)60°(D)－60°返回导航D解析：利用定义得分针是顺时针走的，形成的角是负角，又周角为360°，所以360°12×2＝60°，即分针走过的角度是－60°.故选D.2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝()(A)45(B)35(C)－35(D)－45返回导航D解析：根据题意得cosα＝－4－42＋32＝－45.3．若sinα0，且tanα0，则α是()(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角返回导航C解析：由sinα0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tanα0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．4．若α与β的终边关于x轴对称，则有()(A)α＋β＝90°(B)α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z(C)α＋β＝2k·180°，k∈Z(D)α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z返回导航C解析：因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2k·180°－α，k∈Z.5．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．返回导航解析：设扇形半径为R，内切圆半切为r.则(R－r)sin60°＝r，即R＝1＋233r.又S扇＝12αR2＝12×2π3×R2＝π3R2＝7＋439πr2，∴S扇πr2＝7＋439.答案：(7＋43)：9返回导航考点一象限角与终边相同的角(1)设集合M＝x|x＝k2·180°＋45°，k∈Z，N＝x|x＝k4·180°＋45°，k∈Z，判断两集合的关系()(A)M＝N(B)MN(C)NM(D)M∩N＝∅(2)若α是第三象限的角，则π－12α是()(A)第一或第二象限的角(B)第一或第三象限的角(C)第二或第三象限的角(D)第二或第四象限的角返回导航解析：(1)由于M＝x|x＝k2·180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝x|x＝k4·180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有MN.故选B.(2)设2kπ＋π＜α＜2kπ＋32π，k∈Z，－kπ－34π＜－α2＜－kπ－π2，k∈Z，－kπ＋π4＜π－12α＜－kπ＋π2，k∈Z.当k为偶数(如k＝0)是第一象限，当k为奇数(如k＝1)是第三象限．故选B.返回导航答案：(1)B(2)B【反思归纳】(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．返回导航【即时训练】(1)写出y＝±x(x≥0)所夹区域内的角的集合．(2)已知角α是第二象限角，求：①角α2是第几象限的角；②角2α终边的位置．返回导航解析：(1)当α终边落在y＝x(x≥0)上时，角的集合为{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}；当α终边落在y＝－x(x≥0)上时，角的集合为{α|α＝－45°＋k·360°，k∈Z}；所以，按逆时针方向旋转有集合：S＝{α|－45°＋k·360°≤α≤45°＋k·360°，k∈Z}．(2)∵k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°(k∈Z)，∴k·180°＋45°＜α2＜k·180°＋90°(k∈Z)；返回导航当k为偶数时，α2在第一象限，当k为奇数时，α2在第三象限；即α2为第一或第三象限角．∵2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°(k∈Z)，∴2α的终边在x轴的下半平面．返回导航考点二弧度制及扇形面积公式的应用已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值．返回导航解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，因为α＝60°＝π3，R＝10cm，所以l＝10π3cm，S弓＝S扇－S△＝12×10×10π3－12×102×sin60°＝50π3－32cm2.返回导航(2)因为C＝2R＋l＝2R＋αR，所以R＝C2＋α，S扇＝12αR2＝12αC2＋α2＝C22·αα2＋4α＋4＝C22·1α＋4α＋4≤C216，当且仅当α＝4α时，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形的面积有最大值为C216.返回导航【反思归纳】涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l＝|α|R，S＝12|α|R2.返回导航【即时训练】(2018莆田模拟)已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()(A)2(B)4(C)6(D)8返回导航解析：设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝12lr＝12r2α＝12r2×4，求得r＝1，l＝αr＝4，所以求得扇形的周长为2r＋l＝6.故选C.考点三三角函数的定义及应用(1)已知角α的终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x，求sinα，tanα的值．(2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝()(A)45(B)35(C)－35(D)－45返回导航(1)解：因为P(x，2)(x≠0)，所以P到原点的距离为r＝x2＋2.又因为cosα＝36x，所以cosα＝xx2＋2＝36x.因为x≠0，所以x＝±10，所以r＝23.当x＝10时，P点坐标为(10，－2)，由三角函数定义，有sinα＝－66，tanα＝－55；返回导航当x＝－10时，P点坐标为(－10，－2)，所以sinα＝－66，tanα＝55.(2)解析：由三角函数的定义知cosα＝－4－42＋32＝－45.故选D.返回导航【反思归纳】当角的终边经过的点不固定时，需要进行分类讨论，特别是当角的终边在过坐标原点的一条直线上时，在根据三角函数定义求解三角函数值时，就要把这条直线看作两条射线，分别求解，实际上这时求的是两个角的三角函数值，这两个角相差2kπ＋π(k∈Z)．当求出了一种情况后，也可以根据诱导公式求另一种情况．返回导航【即时训练】已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．返回导航解析：∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝x2＋y2＝4t2＋－3t2＝5|t|，当t＞0时，r＝5t，sinα＝yr＝－3t5t＝－35，cosα＝xr＝4t5t＝45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34；当t＜0时，r＝－5t，sinα＝yr＝－3t－5t＝35，cosα＝xr＝4t－5t＝－45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34.综上可知，t＞0时，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34；t＜0时，sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34.返回导航返回导航利用定义求三角函数值的误区已知角θ的终边上一点P(3a,4a)(a≠0)，则sinθ＝________.解析：∵x＝3a，y＝4a，∴r＝3a2＋4a2＝5|a|.(1)当a＞0时，r＝5a，∴sinθ＝yr＝45.(2)当a＜0时，r＝－5a，∴sinθ＝yr＝－45.∴sinθ＝±45.返回导航答案：±45错因：(1)角的终边是一条射线，而不是直线．该题中，我们只能确定角的终边所在直线．(2)由终边上一点求三角函数时，由于没有考虑参数的取值情况，从而求出r＝3a2＋4a2＝25a2＝5a，结果得到下列错误的解法：sinθ＝yr＝45.返回导航易错提醒：(1)区分两种三角函数定义如果是在单位圆中定义任意角的三角函数，设角α的终边与单位圆的交点坐标为(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx，但如果不是在单位圆中，设角α的终边经过点P(x，y)，|OP|＝r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx.(2)明确三角函数的定义与角的终边所在的象限位置的关系．返回导航