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第七篇立体几何与空间向量(必修2、选修2-1)第5节直线、平面垂直的判定与性质最新考纲1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间垂直关系的简单命题.返回导航返回导航【教材导读】1．直线l与平面α内无数条直线垂直，则直线l⊥α吗？提示：不一定，当这无数条直线相互平行时，l与α不一定垂直．2．若平面α内有一条直线垂直于平面β，则α⊥β吗？提示：垂直．3．若α⊥β，则α内任意直线都与β垂直吗？提示：不一定，平面α内只有垂直于交线的直线才与β垂直．1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的__________直线都垂直，就说直线l与平面α互相_______．返回导航任意一条垂直返回导航文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的_______________都垂直，则该直线与此平面垂直性质定理垂直于同一个平面的两条直线________(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理两条相交直线平行2.直线与平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的______所成的_______，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图，________就是斜线AP与平面α所成的角．(2)线面角θ的范围0，π2.返回导航∠PAO射影锐角3．二面角、平面与平面垂直(1)二面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．这两个半平面叫做二面角的面．如图，记作：二面角αlβ或二面角αABβ或二面角PABQ.返回导航②二面角的平面角：在二面角αlβ的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．(2)平面与平面的垂直①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_________，就说这两个平面互相垂直．返回导航直二面角②平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的_____，则这两个平面垂直_________________⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于_____的直线垂直于另一个平面_____________________________________⇒l⊥α返回导航l⊥αα⊥βα∩β＝al⊥a垂线交线【重要结论】1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．若两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．3．若一条直线和两个不重合的平面都垂直，那么这两个平面平行．返回导航1．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“aα，bβ，且α⊥β”的平面α，β()(A)不存在(B)有且只有一对(C)有且只有两对(D)有无数对返回导航D解析：过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α.2．如图，在正方体ABCE－A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是()(A)与AC，MN均垂直(B)与AC垂直，与MN不垂直(C)与AC不垂直，与MN垂直(D)与AC，MN均不垂直返回导航A解析：因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，因为OM平面BDD1B1，所以OM⊥AC.设正方体的棱长为2，则OM＝1＋2＝3，MN＝1＋1＝2，ON＝1＋4＝5，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.返回导航3.如图，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()(A)MN∥AB(B)平面VAC⊥平面VBC(C)MN与BC所成的角为45°(D)OC⊥平面VAC返回导航B解析：依题意得，BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以VA⊥BC.因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因为BC平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故选B.返回导航4.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．返回导航解析：由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB.AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．返回导航答案：①②③5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC的长为________．返回导航解析：如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′BDC的平面角，即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝22a.所以A′C＝a22＋a22＝a，即折叠后AC的长(A′C)为a.答案：a返回导航考点一直线与平面垂直的判定和性质如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB.解析：(1)设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．连EG，GH，由于H为BC的中点，故,2AB.又,2AB，∴.∴四边形EFHG为平行四边形．∴EG∥FH，而EG平面EDB，FH平面EDB，∴FH∥平面EDB.(2)由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC.而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH.返回导航∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.又FH∥EG，∴AC⊥EG.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.返回导航【反思归纳】(1)证明线线垂直的常用方法①利用特殊图形中的垂直关系；②利用等腰三角形底边中线的性质；③利用勾股定理的逆定理；④利用直线与平面垂直的性质．返回导航(2)证明线面垂直的常用方法①利用线面垂直的判定定理；②利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；③利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”；④利用面面垂直的性质定理．返回导航【即时训练】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.返回导航解：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS.所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.考点二平面与平面垂直的判定和性质考查角度1：面面垂直的判定．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝2AA1＝2AC＝2，∠ABC＝30°.(1)求证：平面A1BC⊥平面AA1C1C；(2)若点D是棱AC的中点，点F在线段AC1上，且AC1＝3FC1，求证：平面B1CF∥平面A1BD.返回导航解：(1)在三棱柱ABC－A1B1C1中，因为AA1⊥平面ABC，BC平面ABC，所以AA1⊥BC.在△ABC中，因为AB＝2AC＝2，且∠ABC＝30°，根据正弦定理，得ABsin∠ACB＝ACsin∠ABC，所以sin∠ACB＝1，因为0°＜∠ACB＜180°，所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.又AC∩AA1＝A，所以BC⊥平面AA1C1C，因为BC平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面AA1C1C.返回导航(2)设A1D与AC1交于点E，连接AB1交A1B于点G，连接EG，如图所示，因为AD∥A1C1，所以∠ADE＝∠C1A1E，∠DAE＝∠A1C1E，所以△ADE∽△C1A1E，又点D是棱AC的中点，所以AEC1E＝ADC1A1＝12.因为AC1＝3FC1，所以AE＝EF＝FC1，所以CF∥DE.因为CF/平面A1BD，DE平面A1BD，所以CF∥平面A1BD.因为点G为AB1的中点，所以B1F∥GE.又B1F/平面A1BD，GE平面A1BD，所以B1F∥平面A1BD.因为B1F∩CF＝F，所以平面B1CF∥平面A1BD.返回导航【反思归纳】(1)面面垂直的证明方法①定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．②定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．提醒：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据．运用时要注意“平面内的直线”．返回导航(2)三种垂直关系的转化返回导航考查角度2：面面垂直性质的应用．高考扫描：2013高考全国新课标卷Ⅰ如图，三棱锥PABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC＝π2，点D，E在线段AC上，且AD＝DE＝EC＝2，PD＝PC＝4，点F在线段AB上，且EF∥BC.证明：AB⊥平面PFE.返回导航证明：由DE＝EC，PD＝PC知，E为等腰△PDC中DC边的中点，故PE⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PE平面PAC，PE⊥AC，所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB.因为∠ABC＝π2，EF∥BC，故AB⊥EF.从而AB与平面PFE内两条相交直线PE，EF都垂直，所以AB⊥平面PFE.返回导航【反思归纳】面面垂直性质的应用(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．返回导航考点三线面角与二面角的求法如图，已知三棱锥P－ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是等边三角形，PA⊥PC.(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)求二面角D－AP－C的正弦值．返回导航解析：(1)在Rt△ACB中，D是斜边AB的中点，所以BD＝DA.因为△PDB是等边三角形，所以BD＝DP＝BP，则BD＝DA＝DP，因此△APB为直角三角形，即PA⊥BP.又PA⊥PC，PC∩BP＝P，所以PA⊥平面PCB.因为BC平面PCB，所以PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.因为BC平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.(2)由(1)知PA⊥PB，又PA⊥PC，故∠BPC即二面角D－AP－C的平面角．由(1)知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC.在Rt△BPC中，BC＝4，BP＝BD＝10，所以sin∠BPC＝BCBP＝410＝25，即二面角D－AP－C的正弦值为25.返回导航【反思归纳】空间线面角、二面角的求法(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，作出垂线，确定垂足．(2)二面角的求法①直接法：根据概念直接作，如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边，就可以取棱的中点．②垂面法：过二面角棱上一点作棱的垂面，则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角．③垂线法：过二面角的一个半平面内一点A，作另一个半平面的垂线，垂足为B，再从垂足B向二面角的棱作垂线，垂足为C，连接AC，则∠ACB就是二面角的平面角或其补角．返回导航【即时训练】(2018广州六校)如图，在四棱锥P－ABCD中，ABCD是平行四边形，AB＝BC＝1，∠BAD＝120°，PB＝PC＝2，PA＝2，E，F分别是AD，PD的中点