2020届高考数学一轮复习 第六篇 不等式 第2节 一元二次不等式的解法课件 理 新人教A版

第六篇不等式(必修5)第2节一元二次不等式的解法最新考纲1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.返回导航返回导航提示：对于函数y＝ax2＋bx＋c，令y＝0可得ax2＋bx＋c＝0，令y0可得ax2＋bx＋c0，也就是说函数y＝ax2＋bx＋c的零点是方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是不等式ax2＋bx＋c0解集的端点值．【教材导读】1．若a≠0，则函数y＝ax2＋bx＋c与方程ax2＋bx＋c＝0与不等式ax2＋bx＋c0之间有何关系？2．一元二次不等式ax2＋bx＋c0恒成立的条件是什么？返回导航提示：a0，Δ0.1．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象返回导航一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两______实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝_______没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|xx1或xx2}xx≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集_____________∅∅返回导航相异{x|x1＜x＜x2}2.一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的求解过程用程序框图表示为返回导航3．分式不等式与一元二次不等式的关系(1)x－ax－b0等价于__________________.(2)x－ax－b0等价于(x－a)(x－b)0.(3)x－ax－b≥0等价于x－ax－b≥0，x－b≠0.(4)x－ax－b≤0等价于x－ax－b≤0，x－b≠0.返回导航(x－a)(x－b)01．不等式x(2－x)0的解集是()(A)(－∞，0)(B)(0,2)(C)(－∞，0)∪(2，＋∞)(D)(2，＋∞)返回导航B解析：原不等式化为x(x－2)0，方程x(x－2)＝0的两根为x1＝0，x2＝2.所以原不等式的解集为{x|0x2}．故选B.2．不等式1－x2＋x≥0的解集为()(A)[－2,1](B)(－2,1](C)(－∞，－2)∪(1，＋∞)(D)(－∞，－2]∪(1，＋∞)返回导航B解析：原不等式化为1－x2＋x≥0，2＋x≠0，即x－1x＋2≤0，x＋2≠0，解得－2x≤1.故选B.3．若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－4,1)，则不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c＞0的解集为()(A)－43，1(B)(－∞，－1)∪43，＋∞(C)(－1,4)(D)(－∞，－2)∪(1，＋∞)返回导航A解析：由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－4,1)知a＜0且－4、1为ax2＋bx＋c＝0的两根．∴－4＋1＝－ba且－4×1＝ca.即b＝3a，c＝－4a.故所求解的不等式即为3a(x2－1)＋a(x＋3)－4a＞0，即3x2＋x－4＜0，解得－43＜x＜1，故选A.返回导航4．已知函数f(x)＝x2，x0，x－1，x≥0，若f(x)≤1，则x的取值范围是________．返回导航解析：由已知f(x)≤1，得x2≤1，x0或x－1≤1，x≥0，分别解这两个不等式组得－1≤x0或0≤x≤2，所以f(x)≤1的解集为[－1,2]．返回导航答案：[－1,2]5．下列命题：①若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(x1，x2)，则必有a0；②若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1和x2；③若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R；④不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ＝b2－4ac≤0.其中正确的命题有________．(填所有正确命题的序号)返回导航解析：①，②正确；对于③，若a0，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为∅，故③错误；对于④，若a＝b＝0，c≤0，则ax2＋bx＋c≤0，在R上也恒成立，故④错误．返回导航答案：①②返回导航考点一一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)8x－1≤16x2；(2)－x2＋3|x|－2＜0；(3)1x－1≤1.(4)已知函数f(x)＝(ax－1)·(x＋b)，如果不等式f(x)0的解集是(－1,3)，求a，b.解：(1)方法一：∵原不等式即为16x2－8x＋1≥0，其相应方程为16x2－8x＋1＝0，Δ＝(－8)2－4×16＝0，∴上述方程有两相等实根x＝14，结合二次函数y＝16x2－8x＋1的图象知，原不等式的解集为R.返回导航方法二：8x－1≤16x2⇔16x2－8x＋1≥0⇔(4x－1)2≥0，∴x∈R，∴不等式的解集为R.(2)方法一：原不等式等价于x2－3x＋2＞0x≥0，或x2＋3x＋2＞0，x＜0.分别解两个不等式组得0≤x＜1或x＞2或－1＜x＜0或x＜－2，返回导航故原不等式的解集为{x|x＜－2或－1＜x＜1或x＞2}．方法二：原不等式可化为|x|2－3|x|＋2＞0，即(|x|－1)(|x|－2)＞0，所以|x|＞2或|x|＜1，即x＞2或x＜－2或－1＜x＜1.故原不等式的解集为{x|x＜－2或－1＜x＜1或x＞2}．返回导航(3)方法一：原不等式可化为1x－1－1≤0，即2－xx－1≤0，故有x－2x－1≥0，所以x－2与x－1同号或x－2＝0，故有x－2≥0，x－1＞0或x－2≤0，x－1＜0，所以x≥2或x＜1.所以原不等式的解集为{x|x≥2或x＜1}．返回导航方法二：由法一，原不等式整理为x－2x－1≥0，它等价于(x－1)(x－2)≥0且x≠1，由此解得原不等式的解集为{x|x≥2或x＜1}．(4)由f(x)0的解集为(－1,3)知a0，且方程(ax－1)(x＋b)＝0的两根为x1＝－1，x2＝3.又因为方程(ax－1)(x＋b)＝0的两根为1a，－b，所以1a＝－1，－b＝3，即a＝－1，b＝－3.返回导航【反思归纳】解一元二次不等式的一般步骤(1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)计算对应方程的判别式．(3)求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．(4)写出不等式的解集．返回导航【即时训练1】(1)已知不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|－13≤x≤2}，则不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为()(A)x|－2＜x＜13(B)x|x＜－2或x＞13(C)x|－3＜x＜12(D)x|x＜－3或x＞12返回导航(2)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(2x＋3)≤5的解集为()(A)[－5,5](B)[－8,2](C)[－4,1](D)[1,4]返回导航(1)C解析：由于不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|－13≤x≤2}，得a＜0，且－13，2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，∴－13＋2＝－ba，－13×2＝ca，∴b＝－53a，c＝－23a.∴不等式cx2＋bx＋a＜0，可化为－23ax2＋53ax＋a＜0.∵a＜0，∴23x2＋53x－1＜0，即2x2＋5x－3＜0，解得－3＜x＜12.∴所求不等式的解集为x|－3＜x＜12.故选C.返回导航(2)C解析：当x≥0时，f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，在[0,2]上为减函数，在[2，＋∞)上为增函数且f(0)＝0，f(2)＝－4，f(5)＝5，所以当0≤x≤5时，f(x)≤5.又因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)≤5的解集为[－5,5]，所以由f(2x＋3)≤5，得－5≤2x＋3≤5，即－4≤x≤1.故选C.返回导航【即时训练2】(2015高考广东卷)不等式－x2－3x＋4＞0的解集为________．(用区间表示)返回导航解析：－x2－3x＋40⇒(x＋4)(x－1)0⇒－4x1.答案：(－4,1)考点二含参数的一元二次不等式的解法已知不等式x2－3x＋t＜0的解集为{x|1＜x＜m，x∈R}．(1)求t，m的值；(2)若函数f(x)＝－x2＋ax＋4在区间(－∞，1]上递增，求关于x的不等式loga(－mx2＋3x＋2－t)＜0的解集．返回导航解：(1)∵不等式x2－3x＋t＜0的解集为{x|1＜x＜m，x∈R}，∴1＋m＝3，m＝t，得m＝2t＝2.(2)∵f(x)＝－x－a22＋4＋a24在(－∞，1]上递增，∴a2≥1，a≥2.又loga(－mx2＋3x＋2－t)＝loga(－2x2＋3x)＜0.返回导航由a≥2，可知0＜－2x2＋3x＜1.由2x2－3x＜0，得0＜x＜32，由2x2－3x＋1＞0，得x＜12或x＞1.∴不等式的解集为x|0＜x＜12或1＜x＜32.返回导航【反思归纳】解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项系数若含有参数应讨论二次项系数是小于零，还是大于零，若小于零将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．返回导航【即时训练】解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0.返回导航解析：不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0可化为(ax－1)(x－2)＜0.①当a＞0时，不等式可化为(x－1a)(x－2)＜0.若0＜a＜12，则1a＞2，此时不等式的解集为(2，1a)；若a＝12，则不等式为(x－2)2＜0，不等式的解集为Ø；若a＞12，则1a＜2，此时不等式的解集为1a，2.②当a＝0时，不等式为－x＋2＜0，此时不等式的解集为(2，＋∞)．③当a＜0时，不等式可化为x－1a(x－2)＞0.由于1a＜2，所以不等式的解集为－∞，1a∪(2，＋∞)．综上所述，当a＜0时，不等式的解集为－∞，1a∪(2，＋∞)；当a＝0时，不等式的解集为(2，＋∞)；当0＜a＜12时，不等式的解集为(2，1a)；当a＝12时，不等式的解集为Ø；当a＞12时，不等式的解集为(1a，2)．返回导航考点三一元二次不等式恒成立问题若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围是()(A)[0，＋∞)(B)[－4，＋∞)(C)[－5，＋∞)(D)[－4,4]返回导航解析：原不等式可转化为a≥－x2＋4x＝－x＋4x在区间(0,1]上恒成立．即将问题转化为求函数f(x)＝－x2＋4x在区间(0,1]上的最大值问题．∵函数f(x)＝－x＋4x在(0,1]上为增函数，∴f(x)最大值＝f(1)＝－5，∴a≥－5，故应选C.返回导航【反思归纳】(1)解决恒成立问题一定要分清哪个为变量哪个为参数．一般地，知道范围的为变量，所求量为参数．(2)解决含参数的一元二次不等式恒成立问题，通常有两种方法：一是函数性质法，借助相应的函数图象，构造含参数的不等式(组)；二是分离参数法，把不等式等价转化，使之转化为求函数的最值问题．(3)一元二次不等式恒成立的条件：①ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的充要条件是a0，b2－4ac0.②ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的充要条件是a0，b2－4ac0.返回导航【即时训练】设a为常数，对任意x∈R，ax2＋ax＋1＞0，则a的取值范围是()(A)(0,4)(B)[0,4)(C)(0，＋∞)(D)(－∞，4)返回导航B解析：设f(x)＝ax2＋ax＋1.当a＝0时，f(x)＝1＞0对任意x∈