2020届高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第12节 定积分的概念及简单应用课件 理 新

第二篇函数、导数及其应用(必修1、选修2-2)第12节定积分的概念及简单应用最新考纲1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.返回导航返回导航【教材导读】定积分与曲边梯形的面积有什么关系？提示：定积分与曲边梯形的面积的关系如下：如图，设阴影部分面积为S.①S＝∫baf(x)dx；②S＝－∫baf(x)dx；③S＝∫caf(x)dx－∫bcf(x)dx；④S＝∫baf(x)dx－∫bag(x)dx＝∫ba[f(x)－g(x)]dx.返回导航1．定积分(1)定积分的相关概念如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式i＝1nf(ξi)Δx＝i＝1nb－anf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作返回导航abfxdx，即abf(x)dx＝f(ξi)，a与b分别叫做__________与__________，区间[a，b]叫做___________，函数f(x)叫做___________，____叫做积分变量，_________叫做被积式．返回导航积分下限积分上限积分区间被积函数xf(x)dx(2)定积分的几何意义①当f(x)≥0时，定积分abf(x)dx表示直线______________________和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．②当f(x)在[a，b]上有正有负时，如图所示．返回导航x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0则定积分abf(x)dx表示介于x轴，曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和，即abf(x)dx＝____________________.(3)定积分的基本性质①abkf(x)dx＝____________(k为常数)；②ab[f1(x)±f2(x)]dx＝________________________；③abf(x)dx＝________________________(其中acb)．返回导航A1＋A3－A2－A42．微积分基本定理(牛顿莱布尼茨公式)定理所满足的条件①______是区间[a，b]上的连续函数；②_________＝f(x)；结论：abf(x)dx＝___________．记法：abf(x)dx＝__________＝F(b)－F(a)．返回导航f(x)F′(x)F(b)－F(a)3．定积分在物理中的应用变速直线运动作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即_____________.变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(ab)，那么变力F(x)所做的功为_______________.返回导航【重要结论】设函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有(1)若f(x)是偶函数，则a－af(x)dx＝20af(x)dx.(2)若f(x)是奇函数，则a－af(x)dx＝0.返回导航1．如果1N的力能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，所耗费的功为()(A)0.18J(B)0.26J(C)0.12J(D)0.28J返回导航A解析：由物理知识F＝kx知，1＝0.01k，∴k＝100N/m，则W＝∫0.060100xdx＝50x20.060＝0.18(J)．2．∫π20(x－sinx)dx等于()(A)π24－1(B)π28－1(C)π28(D)π28＋1返回导航B解析：∫π20(x－sinx)dx＝12x2＋cosxπ20＝π28－1.故选B.3．设函数f(x)＝x2，0≤x≤1，1.1＜x≤2，则定积分02f(x)dx等于()(A)83(B)2(C)43(D)13返回导航C解析：02f(x)dx＝∫10x2dx＋∫211dx＝13x310＋x21＝13－0＋(2－1)＝43.4．设函数f(x)＝xm＋ax的导数f′(x)＝2x＋1，则12f(－x)dx的值等于()(A)56(B)12(C)23(D)16返回导航A解析：f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，得m＝2，a＝1，所以f(x)＝x2＋x，所以f(－x)＝x2－x，所以12f(－x)dx＝12(x2－x)dx＝＝56.故选A.返回导航5．给出下列命题：①设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则abf(x)dx＝abf(t)dt.②定积分一定是曲边梯形的面积．③若abf(x)dx0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．④若f(x)是偶函数，则a－af(x)dx＝20af(x)dx.⑤微积分基本定理中F(x)是唯一的．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)返回导航解析：①正确．定积分与被积函数、积分上限和积分下限有关，与积分变量用什么字母表示无关．②错误．不一定是，要结合具体图形来定．③错误．也有可能是在x轴上方部分的面积小于在x轴下方部分的面积．返回导航④正确．当f(x)是偶函数时，其图象关于y轴对称，所以－af(x)dx＝0af(x)dx，所以a－af(x)dx＝20af(x)dx.⑤错误，不是唯一的，它们之间相差非零常数．返回导航答案：①④返回导航考点一定积分的计算计算下列定积分：(1)122xdx；(2)0πcosxdx；(3)13(2x－1x2)dx.解析：(1)因为(lnx)′＝1x，所以122xdx＝2121xdx＝2lnx|21＝2(ln2－ln1)＝2ln2.(2)因为(sinx)′＝cosx，所以0πcosxdx＝sinx|π0＝sinπ－sin0＝0.(3)因为(x2)′＝2x，1x′＝－1x2，所以13(2x－1x2)dx＝132xdx＋13－1x2dx＝x2|31＋1x|31＝223.返回导航【反思归纳】(1)定积分的计算方法有三个：定义法、几何意义法和微积分基本定理法，其中利用微积分基本定理是最常用的方法，若被积函数有明显的几何意义，则考虑用几何意义法，定义法太麻烦一般不用．(2)运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：①对被积函数要先化简，再求积分．②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．③对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．④注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错．返回导航提醒：被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分．返回导航【即时训练】利用定积分的几何意义计算下列定积分：(1)011－x－12dx；(2)－55(3x3＋4sinx)dx.返回导航解析：(1)根据定积分的几何意义，可知011－x－12dx表示的是圆(x－1)2＋y2＝1的面积的14(如图中阴影部分)．故011－x－12dx＝π4.(2)－55(3x3＋4sinx)dx表示直线x＝－5，x＝5，y＝0和曲线y＝3x3＋4sinx所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积前加正号，在x轴下方的面积前加负号．返回导航设y＝f(x)＝3x3＋4sinx，则f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)＝－(3x3＋4sinx)＝－f(x)，所以f(x)＝3x3＋4sinx在[－5,5]上是奇函数．所以－50(3x3＋4sinx)dx＝－05(3x3＋4sinx)dx.所以－55(3x3＋4sinx)dx＝－50(3x3＋4sinx)dx＋053x3＋4sinxdx＝0.返回导航考点二应用定积分求面积(1)(改编题)由抛物线y＝x2－1，直线x＝2及x轴围成的图形面积为________．(2)求由抛物线y2＝2x与直线y＝x－4围成的平面图形的面积．返回导航解析：(1)由y＝x2－1＝0，得抛物线与x轴的交点分别为(－1,0)和(1,0)．选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积S可看作是两部分面积之和，即S＝－11|x2－1|dx＋12(x2－1)dx＝－11(1－x2)dx＋12(x2－1)dx＝(x－x33)|1－1＋(x33－x)|21＝1－13－－1＋13＋83－2－13－1＝83.返回导航(2)如图所示，解方程组y2＝2x，y＝x－4，得两交点为(2，－2)，(8,4)．解法一选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积x可看作是两部分面积之和，即x＝2022xdx＋28(2x－x＋4)dx＝18.解法二选取纵坐标y为积分变量，则图中阴影部分的面积S＝－24y＋4－12y2dy＝18.返回导航思路分析求出两曲线的交点坐标，可将所围成的平面图形进行适当的分割，利用定积分的几何意义转化为求定积分的值．返回导航【反思归纳】(1)利用定积分求曲边梯形面积的步骤①画出曲线的草图．②借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．③将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．④计算定积分，写出答案．返回导航(2)确定积分区间与被积函数的图象一般情况下，定积分abf(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(图①②中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．返回导航返回导航【即时训练】直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()(A)22(B)42(C)2(D)4返回导航解析：由y＝4x，y＝x3得x＝0或x＝2或x＝－2(舍)．∴S＝02(4x－x3)dx＝2x2－14x420＝4.故选D.返回导航考点三定积分在物理中的应用(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()(A)1＋25ln5(B)8＋25ln113(C)4＋25ln5(D)4＋50ln2返回导航(2)一物体作变速直线运动，其υ－t曲线如图所示，则该物体在12s～6s间的运动路程为________m.返回导航解析：(1)由v(t)＝7－3t＋251＋t＝0，可得t＝4t＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4s，此期间行驶的距离为04v(t)dt＝047－3t＋251＋tdt＝7t－32t2＋25ln1＋t40＝4＋25ln5.(2)494返回导航答案：(1)C(2)494【反思归纳】定积分在物理上的应用主要是求做变速直线运动的质点所走过的路程和求变力做功．在解题中把其转化为函数的定积分求解即可．返回导航【即时训练】(1)物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为()(A)3(B)4(C)5(D)6(2)设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________．返回导航解析：(1)因为物体A在t秒内运动的路程为