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第二篇函数、导数及其应用(必修1、选修2-2)第9节函数模型及其应用最新考纲1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.返回导航返回导航【教材导读】1．函数模型应用常见的有哪三种情形？提示：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．应用函数模型解决实际问题的一般步骤有哪些？提示：(1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原．1．三种函数模型性质比较y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的单调性单调______函数单调______函数单调______函数增长速度越来越_____越来越______相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同返回导航递增递增递增快慢2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝_________(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx(k≠0)二次函数模型f(x)＝____________(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)返回导航ax＋bax2＋bx＋c对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)“对勾”函数模型y＝x＋ax(a0)返回导航3.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．返回导航以上过程用框图表示如下：返回导航【重要结论】1．在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a1)，y＝logax(a1)和y＝xn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．2．随着x的增大，y＝ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n0)的增长速度，而y＝logax(a1)的增长速度则会越来越慢．3．总会存在一个x0，使得当xx0时，有logaxxnax.返回导航1．往外埠投寄平信，每封信不超过20g，付邮费0.80元，超过20g而不超过40g，付邮费1.60元，依此类推，每增加20g需增加邮费0.80元(信的质量在100g以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5g，则他应付邮费()(A)3.20元(B)2.90元(C)2.80元(D)2.40元返回导航A解析：由题意得20×3＜72.5＜20×4，则应付邮费0.80×4＝3.20(元)．故选A.返回导航2．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()返回导航B解析：由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选B.返回导航3．某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到()(A)200只(B)300只(C)400只(D)500只返回导航A解析：由已知得100＝alog3(2＋1)，得a＝100，则当x＝8时，y＝100log3(8＋1)＝200(只)．4．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．返回导航解析：由已知得L(Q)＝K(Q)－10Q－2000＝40Q－120Q2－10Q－2000＝－120(Q－300)2＋2500，所以当Q＝300时，L(Q)max＝2500(万元)．返回导航答案：25005．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．返回导航解析：已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，3期后本利和为y＝a(1＋r)3，…x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N.返回导航答案：y＝a(1＋r)x，x∈N返回导航考点一一次函数、二次函数模型某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为1206t吨(0≤t≤24)，(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．解析：(1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－1206t；令6t＝x，则x2＝6t，即y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40，∴当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池存水量最少，只有40吨．(2)令400＋10x2－120x＜80，即x2－12x＋32＜0，解得4＜x＜8，即4＜6t＜8，83＜t＜323.因为323－83＝8，所以每天约有8小时出现供水紧张现象．返回导航【反思归纳】(1)在实际问题中，有很多问题的两个变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解．(2)有些问题的两个变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数的图象与单调性解决．(3)在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．返回导航考点二指数函数、对数函数与幂函数模型某县目前有100万人，经过x年后有y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1)写出y关于x的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．返回导航解析：(1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；……故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．返回导航(2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.故10年后该县约有112.7万人．(3)设x年后该县的人口总数为120万，则100×(1＋1.2%)x＝120，所以x＝log1.012120100≈16.故大约16年后该县的人口总数将达到120万．返回导航【反思归纳】(1)与幂函数、指数函数、对数函数三类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．返回导航【即时训练】候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3Q10(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速率为1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？返回导航解析：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度0m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog33010＝0，即a＋b＝0；当耗氧量为30个单位时，速度为1m/s，故a＋blog39010＝1，整理得a＋2b＝1.解方程组a＋b＝0，a＋2b＝1，得a＝－1，b＝1返回导航(2)由(1)知，v＝a＋blog3Q10＝－1＋log3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s，则有v≥2，所以－1＋log3Q10≥2，即log3Q10≥3，解得Q10≥27，即Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要270个单位．返回导航考点三分段函数模型据气象中心观察和预测：发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即t(h)内台风所经过的路程s(km)．返回导航(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场台风是否会侵袭到N城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．返回导航解析：(1)由图像可知，直线OA的方程是v＝3t，直线BC的方程是v＝－2t＋70.当t＝4时，v＝12，所以s＝12×4×12＝24.(2)当0≤t≤10时，s＝12×t×3t＝32t2；当10＜t≤20时，s＝12×10×30＋(t－10)×30＝30t－150；当20＜t≤35时，s＝150＋300＋12×(t－20)×(－2t＋70＋30)＝－t2＋70t－550.返回导航综上可知，s随t变化的规律是s＝32t2，t∈[0，10]，30t－150，t∈（10，20]，－t2＋70t－550，t∈（20，35].(3)当t∈[0,10]时，smax＝32×102＝150＜650，当t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450＜650，当t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650，解得t＝30或t＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N城．返回导航【反思归纳】(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起．要注意各段变量的范围，特别是端点值．(2)分段函数求最值时，要分段求，然后比较大小．返回导航【即时训练】(2018上海宝山区一模)王先先购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)网络月租费本地话费长途话费甲：联通13012元0.36元/分0.06元/秒乙：移动“神州行”无0.60元/分0.07元/秒若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若用联通130应最少打__________秒长途电话才合算．返回导航解析：设王先生每月拨打长途电话的时间为x分钟，所需话费为y元，若使用联通130，则所需话费y元与通话时间x分钟的函数关系式为y＝12＋0.36×5x＋3.6x＝5.4x＋12；若使用移动“神州行”，则所需话费y元与通话时间x分钟的函数关系式为y＝0.6×5x＋4.2x＝7.2x.若用联通130合算，则5.4x＋12≤7.2x，解得x≥203(分钟)＝400(秒)．返回导航答案：400利用函数模型解决实际问题已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生