2020届高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第6节 二次函数与幂函数课件 理 新人教A版

第二篇函数、导数及其应用(必修1、选修2-2)第6节二次函数与幂函数最新考纲1.了解幂函数的概念．2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝1x的图象，了解它们的变化情况.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.返回导航返回导航【教材导读】1．一元二次不等式恒成立的充要条件是什么？提示：ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的充要条件是a0，Δ0；ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的充要条件是a0，Δ0.提示：α是奇数时，y＝xα为奇函数；α是偶数时，y＝xα是偶函数．2．幂函数y＝xα(α为常数)的奇偶性与α有什么关系？1．二次函数(1)定义形如______________________的函数叫做二次函数．(2)表示形式①一般式：y＝__________________；②顶点式：y＝__________________，其中_______为抛物线顶点坐标；③零点式：y＝________________________，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标．返回导航y＝ax2＋bx＋c(a≠0)ax2＋bx＋c(a≠0)a(x－h)2＋k(a≠0)(h，k)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)(3)图象与性质y＝ax2＋bx＋ca0a0图象定义域RR返回导航值域y∈___________，＋∞y∈－∞，___________对称轴____________顶点坐标_________________奇偶性b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数返回导航单调性x∈__________时是减函数；x∈___________时是增函数x∈____________时是增函数；x∈______________时是减函数最值当x＝－b2a时，ymin＝4ac－b24a当x＝－b2a时，ymax＝4ac－b24a返回导航2.幂函数(1)幂函数的概念形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是________，α为_______．返回导航自变量常数(2)常见幂函数的图象与性质函数特征图象或性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象返回导航定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减特殊点(1,1)(0,0)(－1，－1)(1,1)(0,0)(－1,1)(1,1)(0,0)(－1，－1)(1,1)(0,0)(1,1)(－1，－1)返回导航【重要结论】1．若二次函数y＝f(x)恒满足f(x＋m)＝f(－x＋n)，则其图象关于直线x＝m＋n2对称．2．对幂函数y＝xα，当α0时，其图象经过(0,0)点和(1,1)点，且在第一象限内单调递增；当α0时，其图象不过(0,0)点，经过(1,1)点，且在第一象限内单调递减．返回导航1．幂函数y＝f(x)的图象经过点4，12，则f14的值为()(A)1(B)2(C)3(D)4返回导航B解析：设幂函数为y＝xα(α为常数)，又其图象经过点4，12，所以12＝4α，所以α＝－12，所以y＝x－12，则f14＝14－12＝2.返回导航2.如图所示，曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象．已知n分别取±1，12，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为()(A)－1，12，1,2(B)2,1，12，－1(C)12，－1,2,1D)2，12，－1,1返回导航B解析：由所学几种幂函数图象特点容易判定选B.3．已知函数h(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上是单调函数，则k的取值范围是()(A)(－∞，40](B)[160，＋∞)(C)(－∞，40]∪[160，＋∞)(D)返回导航C解析：函数h(x)的对称轴为x＝k8，要使h(x)在[5,20]上是单调函数，则应k8≤5或k8≥20，即k≤40或k≥160，故选C.返回导航4．函数y＝(0.5x－8)－12的定义域是________．返回导航解析：由题意可知0．5x－8＞0，即12x＞8，即2－x＞23，∴－x＞3，则x＜－3.答案：(－∞，－3)5．函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围是________．返回导航解析：二次函数f(x)的对称轴是x＝1－a，由题意知1－a≥3，所以a≤－2.答案：(－∞，－2]返回导航考点一幂函数的图象与性质已知幂函数y＝x3m－9(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)－m3＜(3－2a)－m3的a的范围．解析：∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m－9＜0，解得m＜3，又m∈N＋，∴m＝1,2.又函数图像关于y轴对称，∴3m－9为偶数，故m＝1，∴有(a＋1)－13＜(3－2a)－13.又因y＝x－13在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减，所以a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a，解得23＜a＜32或a＜－1.返回导航【反思归纳】(1)利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较．(2)幂函数的指数与图象特征的关系返回导航(2)幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0,1时，幂函数y＝xα在第一象限的图象特征α取值α＞10＜α＜1α＜0图象特殊点过(0,0)，(1,1)过(0,0)，(1,1)过(1,1)单调性递增递增递减返回导航【即时训练】(1)幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为________．(2)当0＜x＜1时，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是________．返回导航答案：(1)1(2)h(x)＞g(x)＞f(x)考点二二次函数的图象与性质考查角度1：二次函数图象的识别问题．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是()(A)②④B)①④(C)②③D)①③返回导航B解析：由图象知，a＜0，与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，故b2＞4ac.对称轴x＝－b2a＝－1，∴2a－b＝0.当x＝－1时，对应最大值，f(－1)＝a－b＋c＞0.∵b＝2a，a＜0，∴5a＜2a，即5a＜b.故选B.返回导航【反思归纳】辨析二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面着手讨论或逐项排除．考查角度2：求二次函数解析式．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为(－32，49)，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．返回导航解析：设f(x)＝ax＋322＋49(a≠0)，方程ax＋322＋49＝0的两个根分别为x1，x2，则|x1－x2|＝2－49a＝7，所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.返回导航【反思归纳】根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：返回导航考查角度3：利用二次函数图象研究根的分布问题．已知关于x的方程(m＋3)x2－4mx＋2m－1＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，则实数m的取值范围是________________．返回导航解析：法一设方程(m＋3)x2－4mx＋2m－1＝0的两根分别为x1，x2，由题意知m＋3≠0，①Δ＝16m2－m＋m－，②x1＋x2＝4mm＋30，③x1x2＝2m－1m＋30.④由①②③④解得－3m0，即实数m的取值范围是{m|－3m0}．返回导航法二设f(x)＝(m＋3)x2－4mx＋2m－1.解得－3m0，即实数m的取值范围为{m|－3m0}．返回导航答案：{m|－3m0}【反思归纳】在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助二次函数的图象来解，一般从四个方面分析：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号．返回导航考点三二次函数的综合问题定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)的单调增区间为(－1,1)，若方程3a(f(x))2＋2bf(x)＋c＝0恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是________．返回导航解析：∵函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)的单调增区间为(－1,1)，∴－1和1是f′(x)＝0的根，∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∴f(x)＝ax3－3ax，∵3a(f(x))2＋2bf(x)＋c＝0，∴3a(f(x))2－3a＝0，∴f2(x)＝1，∴f(x)＝±1，返回导航【反思归纳】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．返回导航【即时训练】已知a0，函数f(x)＝x2＋2ax＋a，x≤0，－x2＋2ax－2a，x0.若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．返回导航解析：作出函数f(x)的示意图，如图．l1是过原点且与抛物线y＝－x2＋2ax－2a相切的直线，l2是过原点且与抛物线y＝x2＋2ax＋a相切的直线．返回导航由图可知，当直线y＝ax在l1，l2之间(不含直线l1，l2)变动时，符合题意．由y＝ax，y＝－x2＋2ax－2a，消去y，整理得x2－ax＋2a＝0.由Δ＝0，得a＝8(a＝0舍去)．由y＝ax，y＝x2＋2ax＋a，消去y，整理得x2＋ax＋a＝0.由Δ＝0，得a＝4(a＝0舍去)．综上，得4a8.返回导航返回导航忽视对“轴动区间定”的讨论而致误若f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，则a＝________.易错提醒：当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况时的最值，建立方程求解参数．同时注意数形结合思想的应用．返回导航解析：对称轴x＝a2.当a20，即a0时，f(x)在[0，1]上是减函数，f(x)max＝f(0)＝－4a－a2＝－5，解得a＝1或a＝－5，而a0，所以a＝－5；当a21，即a)时，f(x)在[0，1]上是增函数，f(x)max＝f(1)＝－4－a2＝－5，得a＝1或a＝－1，而a)，即a不存在．返回导航当0≤a2≤1，即0≤a≤2时，f(x)max＝fa2＝－4a＝－5，a＝54，满足0≤a≤2.综上所述a＝－5或54.返回导航答案：－5或54