2020届高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第3节 函数的奇偶性与周期性课件 理 新人教

第二篇函数、导数及其应用(必修1、选修2-2)第3节函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.3.了解函数周期性、最小正周期含义，会判断、应用简单函数的周期性.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．返回导航返回导航【教材导读】1．函数图象分别关于坐标原点、y轴对称的函数一定是奇函数、偶函数吗？反之，成立吗？提示：一定是．反之，也成立．2．如果函数f(x)是奇函数，那么是否一定有f(0)＝0?提示：只有在x＝0处有定义的奇函数，才有f(0)＝0.3．周期函数y＝f(x)(x∈R)的周期唯一吗？返回导航提示：不唯一．若T是函数y＝f(x)(x∈R)的一个周期，则nT(n∈Z，且n≠0)也是f(x)的周期，即f(x＋nT)＝f(x)．1．奇函数、偶函数的概念及图象特征奇函数偶函数定义定义域函数f(x)的定义域关于______对称对于定义域内_______的一个xx都有f(－x)＝－f(x)都有f(－x)＝f(x)f(x)与f(－x)的关系结论函数f(x)为奇函数函数f(x)为偶函数图象特征关于______对称关于_______对称返回导航原点任意原点y轴2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有________________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_______________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．返回导航f(x＋T)＝f(x)存在一个最小【重要结论】1．奇偶性的五个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．返回导航(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．(6)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．返回导航2．周期性的三个常用结论若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0，f(x)≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；(2)f(x＋a)＝1f(x)(a≠0，f(x)≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；(3)f(x＋a)＝－1f(x)(a≠0，f(x)≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．返回导航3．对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．返回导航1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是()(A)y＝x(B)y＝cosx(C)y＝ex(D)y＝ln|x|返回导航D解析：y＝x不具有奇偶性；y＝cosx在(0，＋∞)上不单调；y＝ex不具有奇偶性；y＝ln|x|的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且ln|－x|＝ln|x|，故y＝ln|x|为偶函数，当x0时，y＝ln|x|＝lnx，在(0，＋∞)上递增．2．(2017全国卷)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()(A)[－2,2](B)[－1,1](C)[0,4](D)[1,3]返回导航D解析：∵函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，得－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，故选D.3．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，恒有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，则f(－2017)＋f(2018)＝()(A)0(B)e(C)e－1(D)1－e返回导航D解析：由题意可知，函数f(x)是周期为2的奇函数，则：f(2018)＝f(2018－1009×2)＝f(0)＝e0－1＝0，f(－2017)＝－f(2017)＝－f(2017－1008×2)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e.据此可得：f(－2017)＋f(2018)＝1－e.故选D.4．(2018全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()(A)－50(B)0(C)2(D)50返回导航C解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数得f(0)＝0.返回导航又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.故选C.返回导航5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)0的x的取值范围是________________．返回导航解析：画草图，由f(x)为奇函数知f(x)0的x的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)．答案(－1,0)∪(1，＋∞)返回导航考点一函数奇偶性的判定(1)下列函数为奇函数的是()(A)y＝x3＋3x2(B)y＝ex＋e－x2(C)y＝log23－x3＋x(D)y＝xsinx(2)判断下列函数的奇偶性：①f(x)＝1－x2＋x2－1；②f(x)＝3x－3－x；③f(x)＝4－x2|x＋3|－3.返回导航(1)C(2)解析：①因为由x2－1≥0，1－x2≥0，得x＝±1，所以f(x)的定义域为{－1,1}．又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即f(x)＝±f(－x)．所以f(x)既是奇函数又是偶函数；②因为f(x)的定义域为R，所以f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数；返回导航③因为由4－x2≥0，|x＋3|－3≠0，得－2≤x≤2且x≠0.所以f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．返回导航【反思归纳】判断函数奇偶性的两个方法(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．(2)图象法：返回导航提醒：分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．返回导航【即时训练】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(3)f(x)＝x2＋2，x0，0，x＝0，－x2－2，x0.返回导航解：(1)由1－x20，|x－2|－2≠0，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．.因为f(－x)＝－＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．返回导航(2)由1－x1＋x≥0，1＋x≠0，得－1x≤1.因为f(x)的定义域(－1,1]不关于原点对称．所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(3)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．故该函数为奇函数．返回导航考点二函数周期性的应用(1)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f－52等于()(A)－12(B)－14(C)14(D)12返回导航(2)(2016高考江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝x＋a，－1≤x0，25－x，0≤x1，其中a∈R.若f－52＝f92，则f(5a)的值是________．返回导航解析：(1)因为f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，所以f－52＝f－12＝－f12＝－2×12×1－12＝－12.故选A.(2)先利用函数的周期性把自变量转化到区间[－1,1)上，求出f－52和f92，由f－52＝f92解出a的值，再求f(5a)的值．因为函数f(x)的周期为2，结合在[－1,1)上f(x)的解析式，得f－52＝f－2－12＝f－12＝－12＋a，返回导航f92＝f4＋12＝f12＝25－12＝110.由f－52＝f92，得－12＋a＝110，解得a＝35.所以f(5a)＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－1＋35＝－25.返回导航答案：(1)A(2)－25【反思归纳】(1)判断函数周期性的两个方法①定义法．②图象法．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质．(3)函数周期性的重要应用利用函数的周期性，可将其他区间上的求值，求零点个数，求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解．返回导航【即时训练】(1)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1≤x＜0，x，0≤x＜1，则f32＝________.(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2017)＝________.返回导航答案：(1)1(2)1考点三函数奇偶性的应用(1)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)＝4x，则f－52＋f(1)＝________.(2)已知函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为()(A)3(B)0(C)－1(D)－2(3)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.返回导航解析：(1)综合运用函数的奇偶性和周期性进行变换求值．∵f(x)为奇函数，周期为2，∴f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝0.∵f(x)＝4x，x∈(0,1)，∴f－52＝f－52＋2＝f－12＝－f12＝－412＝－2.∴f－52＋f(1)＝－2.返回导航(2)设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，显然F(x)为奇函数，又F(a)