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专题二命题有据——核心素养、数学文化与高考命题五数列与三角函数中的数学文化【例5】(1)(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏(2)在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积S＝p（p－a）（p－b）（p－c），这里p＝a＋b＋c2.已知在△ABC中，BC＝6，AB＝2AC，则当△ABC的面积最大时，sinA＝________．解析：(1)由题意知由上到下各层灯数组成一个等比数列，该数列前7项和S7＝381，公比q＝2.设塔顶层的灯的盏数为a1，则有S7＝a1（1－27）1－2＝381，解得a1＝3.(2)设AC＝x，AB＝2x，则由海伦公式得S＝6＋3x2·3x－62·6＋x2·6－x2＝34（x＋2）（x－2）（6＋x）（6－x）＝34（x2－4）（36－x2）≤34·（x2－4）＋（36－x2）2＝12，当且仅当x2－4＝36－x2，即x＝25时取等号．当AC＝25，AB＝45时，S△ABC的最大值为12.由余弦定理得，cosA＝（25）2＋（45）2－622×25×45＝45，故sinA＝1－cos2A＝35.答案：(1)B(2)35[探究提高]1．第(1)题以古代数学名著的实际问题为背景考查数列的概念、前n项和公式，意在考查学生的数学文化素养和应用意识．求解的关键是将古代传统应用问题转化为现代数学，建立恰当的数学模型．2．第(2)题以“测地木”为背景，涉及基本不等式、余弦定理以及同角三角函数的基本关系．求解本题的关键是在“设元”的基础上，根据所给三角形面积的计算公式写出△ABC的面积的表达式，并利用基本不等式确定最值．[变式训练](1)(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为()A.32fB.322fC.1225fD.1227f(2)(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝_______．解析：(1)从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，第一个单音的频率为f，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f，公比为122的等比数列，记为{an}．第八个单音频率为a8＝f·(122)8－1＝1227f.(2)如图，连接正六边形的对角线，将正六边形分成六个边长为1的正三角形．从而正六边形的面积S6＝6×12×12×sin60°＝332.答案：(1)D(2)332