2020届高考数学二轮复习 第二部分 专题一 三角函数与解三角形 第1讲 三角函数的图象与性质课件

专题一三角函数与解三角形第1讲三角函数的图象与性质1．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝23，则|a－b|＝()A.15B.55C.255D．1解析：由题意知cosα＞0.因为cos2α＝2cos2α－1＝23.所以cosα＝306，sinα＝±66，得|tanα|＝55.又点A(1，a)，B(2，b)在角α的终边上，所以|tanα|＝a－b1－2＝55，所以|a－b|＝55.答案：B2．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2单调递增的是()A．f(x)＝|cos2x|B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x|D．f(x)＝sin|x|解析：作出f(x)＝|cos2x|的图象，由图象知f(x)＝|cos2x|的周期T＝π2，在π4，π2上递增，A正确．又f(x)＝|sin2x|在π4，π2上是减函数，B错误．且f(x)＝cos|x|＝cosx周期T＝2π，f(x)＝sin|x|不是周期函数，所以C、D均不正确．答案：A3．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间π2，π单调递增；③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A．①②④B．②④C．①④D．①③解析：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，又f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数，①正确．当x∈π2，π时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，函数f(x)在π2，π单调递减，②错误．如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故③不正确．因为函数y＝sin|x|与y＝|sinx|的最大值均为1，且可以同时取到，所以函数f(x)的最大值为2，故④正确．综上可知，正确结论的序号是①④.答案：C4．(2018·北京卷)已知函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间－π3，m上的最大值为32，求m的最小值．解：(1)f(x)＝12(1－cos2x)＋32sin2x＝sin2x－π6＋12，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)由(1)知f(x)＝sin(2x－π6)＋12.由题意知－π3≤x≤m，所以－5π6≤2x－π6≤2m－π6.要使得f(x)在－π3，m上的最大值为32，即sin(2x－π6)在－π3，m上的最大值为1，所以2m－π6≥π2，即m≥π3.所以m的最小值为π3.1．以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性．2．考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．高考命题以中低档题为主，题型全面，大多呈现在客观题3～9或第14题的位置上．热点1三角函数的概念与同角关系(自主演练)1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.3．诱导公式：在kπ2＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．1．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，AB︵，CD︵，EF︵，GH︵是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanαcosαsinα，则P所在的圆弧是()A.AB︵B.CD︵C.EF︵D.GH︵解析：设点P的坐标为(x，y)，由三角函数的定义得yx＜x＜y，所以－1＜x＜0，0＜y＜1.所以P所在的圆弧是EF︵.答案：C2.如图，以Ox为始边作角α(0＜α＜π)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为－35，45，则sin2α＋cos2α＋11＋tanα＝________．解析：由三角函数定义，得cosα＝－35，sinα＝45，所以原式＝2sinαcosα＋2cos2α1＋sinαcosα＝2cosα（sinα＋cosα）sinα＋cosαcosα＝2cos2α＝2×－352＝1825.答案：18253．(2019·惠州一中调研)已知由射线y＝43x(x≥0)逆时针旋转到射线y＝－512x(x≤0)的位置，两条射线所成的角为θ，则cosθ＝()A.1665B．－1665C.5665D．－5665解析：设y＝43x(x≥0)的倾斜角为α，则sinα＝45，cosα＝35.设射线y＝－512x(x≤0)的倾斜角为β，则sinβ＝513，cosβ＝－1213.所以cosθ＝cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα＝35×－1213＋45×513＝－1665.答案：B[思维升华]1．涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．2．应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．热点2三角函数的图象(师生互动)1．“五点法”作图(作y＝Asin(ωx＋φ)的简图)设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．2．图象变换【例1】(1)(2019·珠海质检)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，若其图象向左平移π6个单位长度后，得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象()A．关于点7π12，0对称B．关于点－π12，0对称C．关于直线x＝7π12对称D．关于直线x＝－π12对称(2)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω＞0，π2≤φ≤π的部分图象如图所示，其中f(0)＝1，|MN|＝52，将f(x)的图象向右平移1个单位，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为()A．y＝2sinπ3x＋2π3B．y＝2cosπ3xC．y＝2sin2π3x＋π3D．y＝－2cosπ3x解析：(1)由f(x)的最小正周期T＝π，得ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．依题意y＝sin2x＋φ＋π3是奇函数，且|φ|＜π2，所以φ＋π3＝kπ，k∈Z，又|φ|＜π2，则φ＝－π3，所以f(x)＝sin2x－π3.由于f－π12＝sin－π6－π3＝－1，所以函数f(x)的图象关于x＝－π12对称．(2)由f(0)＝1，得2sinφ＝1，又φ∈π2，π，知φ＝56π.如图所示，过点M作MF⊥x轴，垂足为F.则|MF|＝2，|FN|＝|MN|2－|MF|2＝32.所以周期T＝2πω＝4×32＝6，则ω＝π3.故f(x)＝2sinπ3x＋56π.因此g(x)＝2sinπ3（x－1）＋56π＝2cosπ3x.答案：(1)D(2)B[思维升华]1．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．[变式训练](1)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f(0)＋f17π12的值为()A．2－3B．2＋3C．1－32D．1＋32(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x1，x2∈－π6，π3，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝()A．1B.12C.22D.32解析：(1)由三角函数的图象可知，T4＝π6－－π12＝π4，所以T＝π，ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)．又f－π12＝－2，所以2sin2×－π12＋φ＝－2，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f(x)＝2sin2x－π3，f(0)＋f17π12＝2sin－π3＋2sin2×17π12－π3＝2×－32＋2sin5π2＝2－3，故选A.(2)观察图象可知，A＝1，T＝π，则ω＝2.又点－π6，0是“五点法”中的始点，所以2×－π6＋φ＝0，φ＝π3.则f(x)＝sin2x＋π3.函数图象的对称轴为x＝－π6＋π32＝π12.又x1，x2∈－π6，π3，且f(x1)＝f(x2)，所以x1＋x22＝π12，则x1＋x2＝π6，因此f(x1＋x2)＝sin2×π6＋π3＝32.答案：(1)A(2)D热点3三角函数的性质(多维探究)1．三角函数的单调性y＝sinx的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，单调递减区间是2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)；y＝cosx的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tanx的递增区间是kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)．2．三角函数奇偶性规律y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数．y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数．y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ2(k∈Z)时为奇函数．角度三角函数的基本性质【例2】(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·广州质检)已知f(x)＝4cosxcosx＋π3，则下列说法中错误的是()A．函数f(x)的最小正周期为πB．函数f(x)在－π6，π12上单调递减C．函数f(x)的图象可以由函数y＝cos2x＋π3＋1图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到D.7π12，1是函数f(x)图象的一个对称中心解析：(1)f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝32cos2x＋52，则f(x)的最小正周期为T＝π.当2x＝2kπ，即x＝kπ(k∈Z)时，f(x)max＝4.(2)f(x)＝4cosx12cosx－32sinx＝2cos2x－3sin2x＝cos2x－3sin2x＋1＝2cos2x＋π3＋1.易知，f(x)的最小正周期T＝π，且在－π6，π12上单调递减，所以A、B正确．y＝cos2x＋π3＋1图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到的是y＝2cos2x＋π3＋2的图象，因此C错误．对于D，f7π12＝2cos2×7π12＋π3＋1＝1，所以D正确．答案：(1)B(2)C[思维升华]1．讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利