2020届高考数学二轮复习 第二部分 专题四 概率与统计 第2讲 概率、随机变量及其分布列课件 理

专题四概率与统计第2讲概率、随机变量及其分布列1.(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A.516B.1132C.2132D.1116解析：在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n＝26＝64，恰有3个阳爻的基本事件数为C36＝20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P＝2064＝516.答案：A2.(2018·全国卷Ⅰ)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3解析：因为S△ABC＝12AB·AC，以AB为直径的半圆的面积为12π·(AB2)2＝π8AB2，以AC为直径的半圆的面积为12π·(AC2)2＝π8AC2，以BC为直径的半圆的面积为12π·(BC2)2＝π8BC2，所以SⅠ＝12AB·AC，SⅢ＝π8BC2－12AB·AC，SⅡ＝(π8AB2＋π8AC2)－(π8BC2－12AB·AC)＝12AB·AC.所以SⅠ＝SⅡ.由几何概型概率公式得p1＝SⅠS总，p2＝SⅡS总.所以p1＝p2.故选A.答案：A3．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12B．16C．20D．24解析：因为(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)所以x3的系数为1×4＋2×4＝12.答案：A4．(2019·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.①证明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．(1)解：X的所有可能取值为－1，0，1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列为X－101P(1－α)βαβ＋(1－α)(1－β)α(1－β)(2)①证明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1，因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列．②解：由①可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝48－13p1.由于p8＝1，故p1＝348－1，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝44－13p1＝1257.p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝1257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．本讲考查的主要内容：(1)二项式定理、古典概型、几何概型多以选择题、填空题的形式命题，中低档难度．(2)概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”，多在解答题的前三题位置呈现，常考查独立事件的概率，超几何分布和二项分布的期望等．热点1古典概型与几何概型(自主演练)1．古典概型的概率公式．P(A)＝mn＝事件A中所含的基本事件数试验的基本事件总数.2．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）1．(2019·佛山一中月考)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34解析：如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机地落在图中线段AB上，当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型所求概率P＝10＋1040＝12.答案：B2．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A.112B.114C.115D.118解析：不超过30的所有素数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C210＝45种情况，而和为30的有7＋23，11＋19，13＋17这3种情况，所以所求概率为345＝115.故选C.答案：C3．(2019·广东东莞一模)现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为()A.12B.13C.16D.112解析：基本事件的总数n＝C24C22A22·A22＝6.乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数m＝C22C22A22＝2.故所求事件的概率P＝mn＝26＝13.答案：B4.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y＝3sinπ4x的图象分割了两个对称的鱼形图案(如图所示)．其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．解析：依题意，大圆的直径为y＝3sinπ4x的最小正周期T＝8.所以大圆的面积S＝π822＝16π.又一个小圆的面积S0＝π×12＝π.故所求事件的概率P＝2S0S＝2π16π＝18.答案：18[思维升华]1．求古典概型的概率，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数．常常用到排列、组合的有关知识，计数时要正确分类，做到不重不漏．2．计算几何概型的概率，构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示出所需要的区域．热点2条件概率与相互独立事件(讲练互动)1．条件概率及其性质(1)一般地，对于两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝P（AB）P（A）.(2)条件概率具有的性质a．0≤P(B|A)≤1；b．如果B和C是互斥的两个事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)2．相互独立事件(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝P(A)·P(B)．(3)若A与B相互独立，则A与B－，A－与B，A－与B－也都相互独立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．【例1】(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．解：(1)X＝2就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲获胜，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.[思维升华]1．求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件是能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．2．(1)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况．②在每次试验中，事件发生的概率相同．(2)牢记公式Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，并深刻理解其含义．[变式训练](1)(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．(2)(2019·华师附中检测)如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形OEF(阴影部分)内”，则P(AB)＝_____，P(B|A)＝_____．解析：(1)甲队以4∶1获胜，甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输．若在主场输一场，则概率为2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6；若在客场输一场，则概率为2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6.所以甲队以4∶1获胜的概率P＝2×0.6×0.5×0.5×(0.6＋0.4)×0.6＝0.18.(2)易知P(A)＝π×1222＝π4，P(AB)＝14×π×1222＝π16.所以P(B|A)＝P（AB）P（A）＝π16π4＝14.答案：(1)0.18(2)π1614热点3随机变量的分布列、均值与方差(多维探究)1．离散型随机变量的均值、方差离散型随机变量ξ的分布列为P(ξ＝xi)＝pi.(1)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量ξ的数学期望或均值．(2)D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xi－E(ξ))2·pi＋…＋(xn－E(ξ))2·pn叫做随机变量ξ的方差．2．二项分布与超几何分布(1)二项分布：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cknpkqn－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0，1，2，…，n，称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M