2020届高考数学二轮复习 第二部分 专题六 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数与方程课件 理

专题六函数与导数第2讲基本初等函数、函数与方程1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜c＜a解析：由对数函数的单调性可得a＝log20.2＜log21＝0，由指数函数的单调性，b＝20.2＞1，c＝0.20.3∈(0，1)．因此b＞c＞a.答案：B2．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：M1（R＋r）2＋M2r2＝(R＋r)M1R3.设α＝rR.由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，则r的近似值为()A.M2M1RB.M22M1RC.33M2M1RD.3M23M1R解析：由α＝rR得r＝αR，代入M1（R＋r）2＋M2r2＝(R＋r)M1R3，整理得3α3＋3α4＋α5（1＋α）2＝M2M1.又因为3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，所以3α3≈M2M1，所以α≈3M23M1，所以r＝αR≈3M23M1R.答案：D3．(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0，2π]的零点个数为()A．2B．3C．4D．5解析：令f(x)＝0，得2sinx－sin2x＝0，即2sinx－2sinxcosx＝0，所以2sinx(1－cosx)＝0，所以sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0，2π]，所以由sinx＝0得x＝0，π或2π，由cosx＝1得x＝0或2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．答案：B4．(2019·北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．解析：①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60＋80＝140(元)，超过了120元可以优惠，所以当x＝10时，顾客需要支付140－10＝130(元)．②由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大．而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120－x)元，所以(120－x)×80%≥120×0.7，所以x≤15.即x的最大值为15.答案：①130②15从近年高考命题看，基本初等函数着重于分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；以基本初等函数为载体考查函数与方程，以及函数简单的实际应用，突出数形结合与转化思想方法的考查．题目以中档难度为主，大多以选择题、填空题的形式呈现．考查的数学核心素养主要有数学运算、直观想象、数学建模．热点1基本初等函数的图象与性质(自主演练)1．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图象和性质，分0＜a＜1，a＞1两种情况，当a＞1时，两函数在定义域内都为增函数，当0＜a＜1时，两函数在定义域内都为减函数．2．同底的指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．1．(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝1ax，y＝logax＋12(a＞0，且a≠1)的图象可能是()解析：当a＞1时，y＝1ax是减函数，g＝logax＋12是增函数，且y＝logax＋12的图象过定点12，0，则选项A、B、C、D均不符合．当0＜a＜1时，y＝1ax是增函数，y＝logax＋12是减函数，且y＝logax＋12的图象过定点12，0，只有选项D适合．答案：D2．(2019·佛山一中月考)若函数y＝4x－2x＋1＋b在[－1，1]上的最大值是3，则实数b＝()A．3B．2C．1D．0解析：y＝4x－2x＋1＋b.令t＝2x，x∈[－1，1]，则y＝t2－2t＋b＝(t－1)2＋b－1.由x∈[－1，1]，知t∈12，2.所以当t＝2时，ymax＝1＋b－1＝3，故b＝3.答案：A3．(2019·全国卷Ⅱ)若a＞b，则()A．ln(a－b)＞0B．3a＜3bC．a3－b3＞0D．|a|＞|b|解析：法1：由函数y＝lnx的图象(图略)知，当0＜a－b＜1时，ln(a－b)＜0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a＞b时，3a＞3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a＞b时，a3＞b3，即a3－b3＞0，故C正确；当b＜a＜0时，|a|＜|b|，故D不正确．法2：(特殊化)取a＝0.3，b＝－0.4时，ln(a－b)＜0，3a＞3b，|a|＜|b|，所以A、B、D项均不正确，只有C项满足．答案：C4．已知a(a＋1)≠0，若函数f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上为减函数，且函数g(x)＝4x，x≤12，log|a|x，x＞12，在R上有最大值，则a的取值范围为()A.－22，－12B.－1，－12C.－22，－12D.－22，0∪0，12解析：因为f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上为减函数，所以a＜0，－2a－1≥0，解得a≤－12.又g(x)在R上有最大值，且g(x)在－∞，12上单调递增，所以g(x)在12，＋∞上单调递减，且log|a|12≤412＝2，所以0＜|a|＜1，12≥|a|2，解得|a|≤22，综上，－22≤a≤－12.答案：A[思维升华]1．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围．2．研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件，如求f(x)＝ln(x2－3x＋2)的单调区间，只考虑t＝x2－3x＋2与函数y＝lnt的单调性，忽视t＞0的限制条件．热点2函数的零点与方程(多维探究)1．函数的零点的定义对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．温馨提醒：忽略概念致误：函数的零点不是一个“点”，而是函数图象与x轴交点的横坐标．2．确定函数零点的常用方法(1)解方程法(直接法)；(2)利用零点存在性定理；(3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解．角度确定函数零点个数或其存在范围【例1】(1)函数f(x)＝log2x－1x的零点所在的区间为()A．0，12B．12，1C．(1，2)D．(2，3)(2)函数f(x)＝2sinxsinx＋π2－x2的零点个数为________．解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数．f12＝log212－112＝－1－2＝－3＜0，f(1)＝log21－11＝0－1＜0，f(2)＝log22－12＝1－12＝12＞0，即f(1)·f(2)＜0，所以函数f(x)＝log2x－1x的零点在区间(1，2)内．(2)f(x)＝2sinxcosx－x2＝sin2x－x2，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1＝sin2x与y2＝x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1＝sin2x与y2＝x2的图象如图所示：由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2.答案：(1)C(2)2[思维升华]1．函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．2．判断函数零点个数的主要方法：(1)解方程f(x)＝0，直接求零点；(2)利用零点存在定理；(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题．[变式训练](1)已知函数f(x)＝ln（x－1），x＞1，2x－1－1，x≤1，则函数f(x)的零点个数为()A．0B．1C．2D．3(2)设[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，且x0是函数f(x)＝lnx－2x的零点，则g(x0)等于()A．1B．2C．3D．4解析：(1)当x＞1时，f(x)＝ln(x－1)＝0，得x＝2.当x≤1时，2x－1－1＝0，得x＝1.所以f(x)有两个零点x＝1与x＝2.(2)因为f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－23＞0，又f(x)＝lnx－2x在(0，＋∞)上是增函数，所以x0∈(2，3)，从而g(x0)＝2.答案：(1)C(2)B角度根据函数的零点求参数的取值或范围【例2】(1)(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝()A．－12B.13C.12D．1(2)(2019·天津卷)已知函数f(x)＝2x，0≤x≤1，1x，x＞1.若关于x的方程f(x)＝－14x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为()A.54，94B.54，94C.54，94∪{1}D.54，94∪{1}解析：(1)f(x)＝(x－1)2＋a(ex－1＋e1－x)－1，令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.因为g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，所以函数g(t)为偶函数．因为f(x)有唯一零点，所以g(t)也有唯一零点．又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，所以2a－1＝0，解得a＝12.(2)如图，分别画出两函数y＝f(x)和y＝－14x＋a的图象．①先研究当0≤x≤1时，直线y＝－14x＋a与y＝2x的图象只有一个交点的情况．当直线y＝－14x＋a过点B(1，2)时，则a＝94.所以0≤a≤94.②再研究当x＞1时，直线y＝－14x＋a与y＝1x的图象只有一个交点的情况：(ⅰ)相切时，由y′＝－1x2＝－14，得x＝2，此时切点为2，12，则a＝1.(ⅱ)相交时，由图象可知直线y＝－14x＋a从过点A向右上方移动时与y＝1x的图象只有一个交点．过点A(1，1)时，1＝－14＋a，解得a＝54.所以a≥54.结合图象可得，所求实数a的取值范围为54，94∪{1}．答案：(1)C(2)D[思维升华]1．求解本题的关键在于转化为研究函数g(x)的图象与y＝a(x≤0)，y＝2a(x＞0)的交点个数问题：常见的错误是误认为y＝2a，y＝a是两条直线，忽视x的限制条件．2．解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．[变式训练](2019·湖南雅礼中学检测)已知函数f(x)＝2|x|，x≤1，x2－3x＋3，x＞1(a∈R)，若关于x的方程f(x)＝2a恰好有两个不同的实根，则实数a的取值范围为()A.12＜a＜1B．a＝12C.38＜a≤12或a＞1D．a∈R解析：作出函数f(x)的图象如图：因为关于x的方程f(x)＝2a恰好有两个不同实根，所以y＝2a与函数y＝f(x)的图象恰有两个交点，所以2a＞2或34＜2a≤1解得a＞1或38＜a≤12