2020届高考数学大二轮复习 下篇 指导一 第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想课件

第2讲分类讨论思想、转化与化归思想高考总复习大二轮数学[一]分类讨论思想分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略，对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．由概念、性质、运算引起的分类讨论[例1](1)(2020·山师附中模拟)已知函数f(x)＝－log23－x，x＜2，2x－2－1，x≥2，若f(2－a)＝1，则f(a)等于()A．－2B．－1C．1D．2[解析]A[①当2－a≥2，即a≤0时，22－a－2－1＝1，解得a＝－1，则f(a)＝f(－1)＝－log2[3－(－1)]＝－2；②当2－a＜2即a＞0时，－log2[3－(2－a)]＝1，解得a＝－12，舍去．所以f(a)＝－2.故选A.](2)(2020·阜阳模拟)等比数列{an}中，a1＋a4＋a7＝2，a3＋a6＋a9＝18，则{an}的前9项和S9＝____________.[解析]由题意得q2＝a3＋a6＋a9a1＋a4＋a7＝9，q＝±3，①当q＝3时，a2＋a5＋a8＝3(a1＋a4＋a7)＝6，S9＝2＋6＋18＝26；②当q＝－3时，a2＋a5＋a8＝－3(a1＋a4＋a7)＝－6，S9＝2－6＋18＝14，所以S9＝14或26.[答案]14或26数学概念运算公式中常见的分类(1)由二次函数、指数函数、对数函数的定义，直线的倾斜角、向量的夹角的范围等引起分类讨论；(2)由除法运算中除数不为零，不等式两边同乘以(或除以)同一个数(或式)时的不等号等引起分类讨论；(3)由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论．[活学活用1]已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.解析：当a＞1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为增函数，由题意得a－1＋b＝－1，a0＋b＝0无解．当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为减函数，由题意得a－1＋b＝0，a0＋b＝－1，解得a＝12，b＝－2，所以a＋b＝－32.答案：－32由图形位置或形状引起的分类讨论[例2](2019·泉州三模)若双曲线x23－m＋y2m－1＝1的渐近线方程为y＝±12x，则m的值为()A．－1B.13C.113D．－1或13[解析]B[根据题意可分以下两种情况讨论：①当焦点在x轴上时，则有3－m＞0，m－1＜0，解得m＜1，此时渐近线方程为y＝±1－m3－mx，由题意1－m3－m＝12，解得m＝13.②当焦点在y轴上时，则有3－m＜0，m－1＞0，解得m＞3，此时渐近线方程为y＝±m－1m－3x，由题意m－1m－3＝12，解得：m＝13；与m＞3矛盾(舍去)．结合以上可知m＝13.故选B.]图形位置或形状的变化中常见的分类圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论；相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论．[活学活用2]设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为2，则a的值为__________．解析：由三角形面积公式，得12×3×1·sinA＝2，故sinA＝223.因为sin2A＋cos2A＝1，所以cosA＝±1－sin2A＝±1－89＝±13.①当cosA＝13时，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a＝22.②当cosA＝－13时，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×－13＝12，所以a＝23.综上所述，a＝22或23.答案：22或23由变量或参数引起的分类讨论[例3](2019·潍坊三模节选)设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.求f(x)的单调区间．[解析]由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－a.下面分两种情况：①当a≤0时，f′(x)＝3x2－a≥0恒成立．所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．②当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝3a3或x＝－3a3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：x－∞，－3a3－3a3－3a3，3a33a33a3，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)的单调递减区间为－3a3，3a3，单调递增区间为－∞，－3a3，3a3，＋∞.几种常见的由参数变化引起的分类与整合1．含有参数的不等式的求解．2．含有参数的方程的求解．3．对于解析式系数含参数的函数，求最值或单调性问题．4．二元二次方程表示曲线类型的判定等．5．直线与圆锥曲线位置关系的分类．[活学活用3]函数f(x)＝ax2＋4x－3在x∈[0,2]上有最大值f(2)，则实数a的取值范围是____________．解析：当a＝0时，f(x)＝4x－3在x∈[0,2]上为单调递增函数，最大值为f(2)，满足题意．当a≠0时，函数f(x)＝ax2＋4x－3＝ax＋2a2－3－4a，其对称轴为x＝－2a.当a＞0时，f(x)＝ax2＋4x－3在x∈[0,2]上为单调递增函数，最大值为f(2)，满足题意．当a＜0时，只有当－2a≥2，即－1≤a＜0时，f(x)＝ax2＋4x－3在x∈[0,2]上为单调递增函数，最大值为f(2)，满足题意．综上，当a≥－1时，函数f(x)＝ax2＋4x－3在x∈[0,2]上有最大值f(2)．答案：[－1，＋∞)[二]转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．特殊与一般的转化[例1](2019·长沙三模)(1)过拋物线y＝ax2(a＞0)的焦点F，作一直线交拋物线于P，Q两点．若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则1p＋1q等于()A．2aB.12aC．4aD.4a[解析]C[拋物线y＝ax2(a＞0)的标准方程为x2＝1ay(a＞0)，焦点F0，14a.过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝12a，∴1p＋1q＝4a.](2)(2017·浙江)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．[解析]由题意，不妨设b＝(2,0)，a＝(cosθ，sinθ)，则a＋b＝(2＋cosθ，sinθ)，a－b＝(cosθ－2，sinθ)．令y＝|a＋b|＋|a－b|＝2＋cosθ2＋sin2θ＋cosθ－22＋sin2θ＝5＋4cosθ＋5－4cosθ，令y＝5＋4cosθ＋5－4cosθ，则y2＝10＋225－16cos2θ∈[16,20]．由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝20＝25，(|a＋b|＋|a－b|)min＝16＝4，即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是25.[答案]425(1)一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果．(2)对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．[活学活用1]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则cosA＋cosC1＋cosAcosC＝________.解析：显然△ABC为等边三角形时符合题设条件，所以cosA＋cosC1＋cosAcosC＝cos60°＋cos60°1＋cos60°cos60°＝11＋14＝45.答案：45正与反的转化[例2](2019·吉林三模)若对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋m2＋2x2－2x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________．[解析]g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．(正反转化)由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥2x－3x，当x∈(t,3)时恒成立，∴m＋4≥2t－3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；由②得3x2＋(m＋4)x－2≤0，即m＋4≤2x－3x，当x∈(t,3)时恒成立，则m＋4≤23－9，即m≤－373.∴函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为－373，－5[答案]－373，－5(1)本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则．(2)题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中．[活学活用2]由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的取值是()A．(－∞，1)B．(－∞，2)C．1D．2解析：C[命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，使e|x－1|－m＞0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.]主与次的相互转化[例3](2019·西安三模)已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0，则实数x的取值范围为________．[解析]由题意，知g(x)＝3x2－ax＋3a－5，对φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1.对－1≤a≤1，恒有g(x)＜0，即φ(a)＜0，∴φ1＜0，φ－1＜0，即3x2－x－2＜0，3x2＋x－8＜0，解得－23＜x＜1.故当x∈－23，1时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0.[答案]－23，1(1)本题是把关于x的函数转化为在[－1,1]内关于a的一次函数小于0恒成立的问题．(2)在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是常量，从而达到减少变元简化运算的目的．[活学活用3]对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px＞4x＋p－3成立的x的取值范围是________．解析：设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，则当x＝1时，f(p)＝0.所以x≠1.f(p)在0≤p≤4上恒为正，等价于f0＞0，f4＞0，即x－3x－1＞0，x2－1＞0，解得x＞3或x＜－1.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)