2020届高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第一部分 刷考点 考点十五 直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线

考点十五直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线第一部分刷考点A卷一、选择题1．(2019·陕西宝鸡中学二模)若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是()A．1B．－2C．1或－2D．－32答案A解析①当m＝－1时，两直线分别为x－2＝0和x－2y－4＝0，此时两直线相交，不符合题意．②当m≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得－11＋m＝－m2，21＋m≠－2，解得m＝1，故选A.2．(2019·湖北黄冈调研)过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为()A．y－x＝1B．y＋x＝3C．2x－y＝0或x＋y＝3D．2x－y＝0或－x＋y＝1答案C解析当直线过原点时，方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x＋y＝k，把点(1,2)代入直线的方程可得k＝3，故直线方程是x＋y－3＝0.综上可得所求的直线方程为2x－y＝0或x＋y－3＝0，故选C.3．(2019·东北三省三校第二次模拟)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案D解析x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2,0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2,0)，半径为1.两圆圆心距为4，两圆半径和为3，因为43，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条，故选D.4．(2019·河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A．2512mB．256mC．95mD．185m答案D解析以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立直角坐标系xOy，结合题意可知，该抛物线x2＝－2py(p0)经过点(6，－5)，则36＝10p，解得p＝185，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p＝185，故选D.5．已知双曲线x2a－y22－a2＝1的离心率为2，则a的值为()A．1B．－2C．1或－2D．－1答案C解析当焦点在x轴上时，a0,2－a20，e2＝a＋2－a2a＝2，解得a＝1，当焦点在y轴上时，a0，2－a20，e2＝－a＋a2－2a2－2＝2，解得a＝－2，综上知a＝1或a＝－2.6．已知圆(x－a)2＋y2＝1与直线y＝x相切于第三象限，则a的值是()A．2B．－2C．±2D．－2答案B解析依题意得，圆心(a,0)到直线x－y＝0的距离等于半径，即有|a|2＝1，|a|＝2.又切点位于第三象限，结合图形(图略)可知，a＝－2，故选B.7．若抛物线y2＝2px(p0)上的点A(x0，2)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于()A．12B．1C．32D．2答案D解析由题意3x0＝x0＋p2，x0＝p4，则p22＝2，∵p0，∴p＝2.8．已知椭圆C：x24＋y2＝1与动直线l：2mx－2y－2m＋1＝0(m∈R)，则直线l与椭圆C交点的个数为()A．0B．1C．2D．不确定答案C解析由题2mx－2y－2m＋1＝0，即m(2x－2)＋1－2y＝0可知直线l过定点1，12，将1，12代入x24＋y2，得14＋14＝121，即点1，12在椭圆内部，故直线l与椭圆有两个交点，故选C.二、填空题9．(2019·湖南株洲第二次教学质量检测)设直线l：3x＋4y＋a＝0，与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25交于A，B，且|AB|＝6，则a的值是________．答案10或－30解析因为|AB|＝6，所以圆心到直线的距离为d＝r2－AB22＝52－32＝4，所以|6＋4＋a|32＋42＝4，即a＝10或a＝－30.10．(2019·河南鹤壁模拟)与双曲线x29－y216＝1具有相同的渐近线，且经过点A(3，－23)的双曲线方程是________．答案4x29－y24＝1解析设与双曲线x29－y216＝1具有相同的渐近线的双曲线的方程为x29－y216＝m(m≠0)，代入点A(3，－23)，解得m＝14，则所求双曲线的方程为x29－y216＝14，即4x29－y24＝1.11．已知椭圆C的焦点在x轴上，长轴长为4，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆C的方程为________．答案x24＋y2＝1解析设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由题意得2a＝4，2b2a＝1，解得a＝2，b＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.12．过抛物线y2＝4x的焦点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4x＋43y＝0截得的弦长是________．答案37解析依题意，抛物线的焦点坐标是(1,0)，相应的直线方程是y＝3(x－1)，即3x－y－3＝0.题中的圆(x－2)2＋(y＋23)2＝16的圆心坐标是(2，－23)、半径为4，则圆心(2，－23)到直线3x－y－3＝0的距离d＝|3×2＋23－3|2＝332，因此所求的弦长为216－3322＝37.三、解答题13．过原点O作圆x2＋y2－8x＝0的弦OA.(1)求弦OA的中点M的轨迹方程；(2)延长OA到N，使|OA|＝|AN|，求点N的轨迹方程．解(1)设M的坐标为(x，y)，则A(2x,2y)，因为点A在圆x2＋y2－8x＝0上，所以(2x)2＋(2y)2－16x＝0，即x2＋y2－4x＝0.因此点M的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0.(2)设N(x，y)，∵|OA|＝|AN|，∴A为线段ON的中点，∴A12x，12y，又A在圆x2＋y2－8x＝0上，∴12x2＋12y2－4x＝0，即x2＋y2－16x＝0.因此，点N的轨迹方程为x2＋y2－16x＝0.14．(2019·安徽合肥第二次质检)已知点A(1,0)和动点B，以线段AB为直径的圆内切于圆O：x2＋y2＝4.(1)求动点B的轨迹方程；(2)已知点P(2,0)，Q(2，－1)，经过点Q的直线l与动点B的轨迹交于M，N两点，求证：直线PM与直线PN的斜率之和为定值.解(1)如图，设以线段AB为直径的圆的圆心为C，取A′(－1，0)．依题意，圆C内切于圆O，设切点为D，则O，C，D三点共线，∵O为AA′的中点，C为AB的中点，∴|A′B|＝2|OC|.∴|BA′|＋|BA|＝2|OC|＋2|AC|＝2|OC|＋2|CD|＝2|OD|＝4|AA′|＝2，∴动点B的轨迹是以A，A′为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，∴动点B的轨迹方程为x24＋y23＝1.(2)证明：①当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x＝2，此时直线l与椭圆x24＋y23＝1相切，与题意不符．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)．由y＋1＝kx－2，x24＋y23＝1，消去y整理得(4k2＋3)x2－(16k2＋8k)x＋16k2＋16k－8＝0.∵直线l与椭圆交于M，N两点，∴Δ＝(16k2＋8k)2－4(4k2＋3)(16k2＋16k－8)0，解得k12.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝16k2＋8k4k2＋3，x1x2＝16k2＋16k－84k2＋3，∴kPM＋kPN＝y1x1－2＋y2x2－2＝kx1－2－1x1－2＋kx2－2－1x2－2＝2k－1x1－2＋1x2－2＝2k－x1＋x2－4x1－2x2－2＝2k－x1＋x2－4x1x2－2x1＋x2＋4＝2k－16k2＋8k4k2＋3－416k2＋16k－84k2＋3－216k2＋8k4k2＋3＋4＝2k＋3－2k＝3(定值)．B卷一、选择题1．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是()A．1＋2B．2C．1＋22D．2＋22答案A解析将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，即圆心为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝2＋1.2．若过点P(2,1)的直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y－7＝0相交于两点A，B，且∠ACB＝60°(其中C为圆心)，则直线l的方程是()A．4x－3y－5＝0B．x＝2或4x－3y－5＝0C．4x－3y＋5＝0D．x＝2或4x－3y＋5＝0答案B解析由题意可得，圆C的圆心为C(－1,2)，半径为23，因为∠ACB＝60°，所以△ABC是边长为23的正三角形，所以圆心C到直线l的距离为3.若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝2，与圆相交，且圆心C到直线l的距离为3，满足条件；若直线l的斜率存在，不妨设l：y－1＝k(x－2)，则圆心C到直线l的距离d＝|3k＋1|k2＋1＝3，解得k＝43，所以此时直线l的方程为4x－3y－5＝0.故选B.3．(2019·湖南师大附中月考七)已知动圆C经过点A(2,0)，且截y轴所得的弦长为4，则圆心C的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案D解析设圆心C(x，y)，弦为BD，过点C作CE⊥y轴，垂足为E，则|BE|＝2，∴|CA|2＝|CB|2＝|CE|2＋|BE|2，∴(x－2)2＋y2＝22＋x2，化为y2＝4x，故选D.4．(2019·山西晋城三模)设双曲线C：x28－y2m＝1(m0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上．若∠F2MN＝∠F2NM，则|MN|＝()A．82B．8C．42D．4答案A解析由∠F2MN＝∠F2NM可知|F2M|＝|F2N|.由又|MF2|－|MF1|＝42，|NF1|－|NF2|＝42，所以|NF1|－|MF1|＝|MN|＝82，故选A.5．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，N为准线上一点，M为y轴上一点，∠MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则△MNF的面积为()A．22B．2C．322D．32答案C解析如图所示，不妨设点N在第二象限，连接EN，易知F(1,0)，因为∠MNF为直角，点E为线段MF的中点，所以|EM|＝|EF|＝|EN|，又E在抛物线C上，所以EN⊥准线x＝－1，E12，2，所以N(－1，2)，M(0，22)，所以|NF|＝6，|NM|＝3，所以△MNF的面积为322.6．抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，过焦点F且倾斜角为π3的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝8，则抛物线的方程为()A．y2＝3xB．y2＝4xC．y2＝6xD．y2＝8x答案C解析∵抛物线y2＝2px(p0)的焦点为Fp2，0，∴过点F且倾斜角为π3的直线方程为y＝3x－p2，联立直线与抛物线的方程，得y＝3x－p2，y2＝2px⇒3x2－5px＋34p2＝0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝5p3.所以|AB|＝xA＋xB＋p＝8p3＝8，所以p＝3，所以抛物线的方程为y2＝6x.7．(2019·山东四校联合考试)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，△MF1F2的内心为I，直线MI交x轴于点E，若|MI||IE|＝2，则椭圆C的离心率是()A．22B．12C．32D．13答案B解析△MF1F2的内心为I，连接F1I和F2I，则F1I为∠MF1F2的平分线，即|MF1||F1E|＝|MI||IE|，同理，|MF2||F2E|＝|MI||IE|，所以|MF1||F1E|＝|MF2||F2E|＝|MI||IE|＝2，即|MF1||F1E|＝|MF2||EF2|＝