2020届高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第一部分 刷考点 考点十四 空间中的平行与垂直关系课件 理

考点十四空间中的平行与垂直关系第一部分刷考点A卷一、选择题1．已知平面α∥平面β，若两条直线m，n分别在平面α，β内，则m，n的关系不可能是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面答案B解析由α∥β知，α∩β＝∅.又m⊂α，n⊂β，故m∩n＝∅.故选B.2．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法正确的是()A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直答案B解析可以通过观察正方体ABCD－A1B1C1D1进行判断，取BC1为直线m，平面ABCD为平面α，由AB，CD均与m垂直知，A错误；由D1C1与m垂直且与平面α平行知，C错误；由平面ADD1A1与m平行且与平面α垂直知，D错误．故选B.3．(2019·东北三省四市一模)已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出α∥β的是()A．m∥n，m⊂α，n⊂βB．m∥n，m⊥α，n⊥βC．m⊥n，m∥α，n∥βD．m⊥n，m⊥α，n⊥β答案B解析当m∥n时，若m⊥α，可得n⊥α.又n⊥β，可知α∥β，故选B.4．(2019·湖南长沙一中模拟一)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是()A．A1O∥DCB．A1O⊥BCC．A1O∥平面B1CD1D．A1O⊥平面ABD答案C解析显然A1O与DC是异面直线，故A错误；假设A1O⊥BC，结合A1A⊥BC可得BC⊥平面A1ACC1，则可得BC⊥AC，显然不正确，故假设错误，即B错误；∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，∴A1D∥B1C，OD∥B1D1，∵A1D∩DO＝D，B1D1∩B1C＝B1，∴平面A1DO∥平面B1CD1，∵A1O⊂平面A1DO，∴A1O∥平面B1CD1，故C正确；又A1A⊥平面ABD，过一点作平面ABD的垂线有且只有一条，则D错误，故选C.5．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案D解析对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，甚至可能平行于平面β，其余选项均是正确的．6.如图，在空间直角坐标系中，有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则异面直线BC1与AB1所成角的余弦值为()A．55B．53C．255D．35答案A解析设CB＝1，则AB1→＝(－2,2,1)，BC1→＝(0,2，－1)，则cos〈AB1→，BC1→〉＝AB1→·BC1→|AB1→||BC1→|＝55.故选A.7．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()答案A解析A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交．B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故选A.8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案D解析因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，所以AB⊥平面ADC，则平面ABC⊥平面ADC，故选D.二、填空题9．如图，P为正方体ABCD－A1B1C1D1体对角线BD1上的一点，且BP→＝λBD1→，若BD1⊥平面PAC，则λ＝________.答案13解析以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，设P(x，y，z)，则由BP→＝λBD1→得(x－1，y－1，z)＝λ(－1，－1,1)，所以P(1－λ，1－λ，λ)，则AP→＝(－λ，1－λ，λ)，又因为BD1⊥平面PAC，所以BD1→·AP→＝λ－1＋λ＋λ＝0，解得λ＝13.10．(2019·黑龙江大庆一中四模)给出下列四个命题：①如果平面α外一条直线a与平面α内一条直线b平行，那么a∥α；②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面．其中真命题的序号为________．答案①②④解析命题①是线面平行的判定定理，正确；命题②因为垂直同一平面的两条直线平行，所以过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故正确；命题③平面内无数条直线均平行时，不能得出直线与这个平面垂直，故不正确；命题④因为两个相交平面都垂直于第三个平面，从而交线垂直于第三个平面，故正确．故答案为①②④.11.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为________．答案64解析如图，取C1A1，CA的中点E，F，连接B1E，BF，EF，则B1E⊥平面CAA1C1.过点D作DH∥B1E，则DH⊥平面CAA1C1.连接AH，则∠DAH为AD与平面AA1C1C所成角．DH＝B1E＝32，DA＝2，所以sin∠DAH＝DHDA＝64.12．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为________．答案2解析如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.又PE＝PF＝3，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝3，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝PE2－OE2＝32－12＝2.三、解答题13．(2019·福建3月质检)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BCC1B1是矩形，AB＝A1B，N是B1C的中点，M是棱AA1上的点，且AA1⊥CM.(1)证明：MN∥平面ABC；(2)若AB⊥A1B，求二面角A－CM－N的余弦值．解(1)证明：如图1，在三棱柱ABC－A1B1C1中，连接BM，因为BCC1B1是矩形，所以BC⊥BB1，因为AA1∥BB1，所以AA1⊥BC，又因为AA1⊥MC，BC∩MC＝C，所以AA1⊥平面BCM，所以AA1⊥MB，又因为AB＝A1B，所以M是AA1的中点，取BC的中点P，连接NP，AP，因为N是B1C的中点，则NP∥BB1且NP＝12BB1，所以NP∥MA且NP＝MA，所以四边形AMNP是平行四边形，所以MN∥AP，又因为MN⊄平面ABC，AP⊂平面ABC，所以MN∥平面ABC.(2)因为AB⊥A1B，所以△ABA1是等腰直角三角形，设AB＝2a，则AA1＝2a，BM＝AM＝a.在Rt△ACM中，AC＝2a，所以MC＝a.在△BCM中，CM2＋BM2＝2a2＝BC2，所以MC⊥BM，由(1)知，则MC⊥AA1，BM⊥AA1，如图2，以M为坐标原点，MA1→，MB→，MC→的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则M(0,0,0)，C(0,0，a)，B1(2a，a,0)．所以Na，a2，a2，则MC→＝(0,0，a)，MN→＝a，a2，a2，设平面CMN的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·MC→＝0，n1·MN→＝0，即az＝0，ax＋a2y＋a2z＝0.取x＝1得y＝－2.故平面CMN的一个法向量为n1＝(1，－2,0)，因为平面ACM的一个法向量为n2＝(0,1,0)，则cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|＝－255.因为二面角A－CM－N为钝角，所以二面角A－CM－N的余弦值为－255.14．(2019·广东湛江高考测试二)三棱锥A－BCD中，底面△BCD是等腰直角三角形，BC＝BD＝2，AB＝2，且AB⊥CD，O为CD的中点，如图．(1)求证：平面ABO⊥平面BCD；(2)若二面角A－CD－B的大小为π3，求AD与平面ABC所成角的正弦值．解(1)证明：△BCD是等腰直角三角形，BC＝BD＝2，O为CD的中点，∴BO⊥CD，∵AB⊥CD，AB∩BO＝B，∴CD⊥平面ABO，∵CD⊂平面BCD，∴平面ABO⊥平面BCD.(2)∵CD⊥平面ABO，∴CD⊥AO∴∠AOB为二面角A－CD－B的平面角，∴∠AOB＝π3，∵BO＝2，∴AB＝BO，∴△ABO为等边三角形，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，C(2,0,0)，A12，12，62，D(0,2,0)，BA→＝12，12，62，BC→＝(2,0,0)，AD→＝－12，32，－62，设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，则BA→·n＝0，BC→·n＝0，即12x＋12y＋62z＝0，2x＝0，取n＝(0，6，－1)，设AD与平面ABC所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，AD→〉|＝362＋6212×1＋9＋6×7＝427，故AD与平面ABC所成角的正弦值为427.B卷一、选择题1．设直线l与平面α平行，直线m在平面α内，那么()A．直线l不平行于直线mB．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点D．直线l与直线m不垂直答案C解析∵直线l与平面α平行，由线面平行的定义可知，直线l与平面α无公共点，又直线m在平面α内，∴直线l与直线m没有公共点，故选C.2．(2019·河北石家庄二模)设l表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若l∥α且α⊥β，则l⊥βB．若γ∥α且γ∥β，则α∥βC．若l∥α且l∥β，则α∥βD．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β答案B解析在A中，若l∥α且α⊥β，则l⊥β，则l与β可能相交、平行或l⊂β；在B中，若γ∥α且γ∥β，则α∥β，由面面平行的性质可得α∥β；在C中，若l∥α且l∥β，则α∥β，则α与β相交或平行；在D中，若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β，则α与β相交或平行，故选B.3．(2019·安徽江南十校3月综合素质检测)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点．则下列叙述中正确的是()A．直线BQ∥平面EFGB．直线A1B∥平面EFGC．平面APC∥平面EFGD．平面A1BQ∥平面EFG答案B解析过点E，F，G的截面如图所示(H，I分别为AA1，BC的中点)，∵A1B∥HE，A1B⊄平面EFG，HE⊂平面EFG，∴A1B∥平面EFG，故选B.4．设正三棱锥P－ABC的高为H，且此棱锥的内切球的半径为R，若二面角P－AB－C的正