2020届高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第一部分 刷考点 考点十三 空间几何体的三视图、表面积与体

考点十三空间几何体的三视图、表面积与体积第一部分刷考点A卷一、选择题1．(2019·山东4月联合模拟)如图正方体ABCD－A1B1C1D1，点M为线段BB1的中点，现用一个过点M，C，D的平面去截正方体，得到上、下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的侧视图为()答案B解析上半部分的几何体如图所示，所得的侧视图为.故选B.2．(2019·浙江高考)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A．158B．162C．182D．324答案B解析如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S＝2＋62×3＋4＋62×3＝27，因此，该柱体的体积V＝27×6＝162.故选B.3．(2019·河南八市重点高中联盟模拟)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A．31π6B．16π3C．17π3D．35π6答案A解析由题意得，该几何体是在一个半球中挖出四分之一圆锥，其中球的半径为R＝2，圆锥的底面半径为r＝1，高为h＝2，故所求体积为V＝12·43·π·23－14·13·π·12·2＝31π6，故选A.4．(2019·成都一诊)某几何体的正(主)视图和侧(左)视图如图1，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，如图2，其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为()A．64B．80C．96D．128答案C解析设y′轴与C1B1交于D1点，点O1，A1，B1，C1，D1，x′轴，y′轴分别为俯视图中的点O，A，B，C，D，x轴，y轴，由俯视图的直观图可得O1D1＝22，故OD＝42，如图，俯视图是边长为6的菱形，则该几何体是直四棱柱，侧棱长为4，所以其侧面积为6×4×4＝96，故选C.5．棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为()A．a33B．a34C．a36D．a312答案C解析如图所示，这个八面体是由两个相同的正四棱锥底面合在一起组成的．四棱锥的底面面积是正方体的一个面的面积的一半，就是12a2，高为12a，所以八面体的体积为2×13×12a2×12a＝a36.6．(2019·淮北模拟)小明与爸爸放假在家做蛋糕，小明做了一个底面半径为10cm的等边圆锥(轴截面为等边三角形)状蛋糕，现要把1g芝麻均匀地全撒在蛋糕表面，已知1g芝麻约有300粒，则贴在蛋糕侧面上的芝麻约有()A．100粒B．200粒C．114粒D．214粒答案B解析由题意可知圆锥形蛋糕的底面半径为r＝10cm，母线长l＝20cm，∴圆锥的侧面积为S侧＝πrl＝200πcm2，圆锥的表面积为S表＝πr2＋πrl＝300πcm2，∴贴在蛋糕侧面上的芝麻约有300×200π300π＝200粒．7．已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的78时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于()A．7π6B．4π3C．2π3D．π2答案C解析当注入水的体积是该三棱锥体积的78时，设水面上方的小三棱锥的棱长为x(各棱长都相等)，依题意，得x43＝18，解得x＝2.易得小三棱锥的高为263，设小球的半径为r，则13S底面·263＝4·13·S底面·r，解得r＝66，故小球的表面积S＝4πr2＝2π3.8．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的顶点都在球O的球面上，AB＝2，AA1＝4，则球O的表面积为()A．32π3B．32πC．64πD．64π3答案D解析根据对称性，可得球心O到正三棱柱的底面的距离为2，球心O在底面ABC上的射影为底面的中心O′，则O′A＝23×32×2＝233，由球的截面的性质可得OA2＝OO′2＋O′A2，所以有OA＝4＋43＝43，所以球O的表面积为4π·OA2＝64π3.二、填空题9．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x为________．答案1.6解析该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12，高为x的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x,3,1的长方体，∴组合体的体积V＝V圆柱＋V长方体＝π·122×x＋(5.4－x)×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x＝1.6.10．(2019·江苏七市第二次调研)设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝2m，PB＝3m，PC＝4m，则球O的表面积为________m2.答案29π解析∵P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，则球的直径等于以PA，PB，PC长为棱长的长方体的对角线长，∵PA＝2，PB＝3，PC＝4，∴2R＝4＋9＋16＝29，则球O的表面积S＝4πR2＝29π.11．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.答案118.8解析由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6cm和4cm，故V挖去的四棱锥＝13×12×4×6×3＝12(cm3)．又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．12．(2019·湖南长沙一中模拟卷三)已知半径分别为1和2的两球紧贴放在水平桌面上，则两球在桌面上的俯视图的公共弦长为________．答案144解析半径分别为1和2的两球紧贴放在水平桌面上的正视图如图，可得两球的球心距离为1＋2＝3，两球的球心的垂直距离为2－1＝1，水平距离为32－12＝22，两球在桌面上的俯视图如下图，且AO1＝1，AO2＝2，O1O2＝22，cos∠O1AO2＝1＋4－82×1×2＝－34，则sin∠O1AO2＝1－916＝74，△AO1O2的面积为S＝12×1×2×74＝74，可得O1O2上的高为7412×22＝148，则两球在桌面上的俯视图的公共弦长为2×148＝144.三、解答题13．(2019·日照一模)如图，在几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，EA⊥AB，CB∥DA，F为DA上的点，EA＝DA＝AB＝2CB，M是EC的中点，N为BE的中点．(1)若AF＝3FD，求证：FN∥平面MBD；(2)若EA＝2，求三棱锥M－ABC的体积．解(1)证明：连接MN，∵M，N分别是EC，BE的中点，∴MN∥CB且MN＝12CB＝14DA，又AF＝3FD，∴FD＝14DA，∴MN＝FD.又CB∥DA，∴MN∥DA，即MN∥FD，∴四边形MNFD为平行四边形，∴FN∥MD.又FN⊄平面MBD，MD⊂平面MBD，∴FN∥平面MBD.(2)连接AN，则AN⊥BE，DA⊥AN，MN∥DA，∴AN⊥平面EBC，又在△ABE中，AN＝2，S△MBC＝12×12×22×1＝22.∴VM－ABC＝VA－MBC＝13AN×S△MBC＝13×2×22＝13，∴三棱锥M－ABC的体积为13.14．(2019·河南安阳二模)如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形，AA1＝3，点D，E，F，G分别是所在棱的中点．(1)证明：平面BEF∥平面DA1C1；(2)求三棱柱ABC－A1B1C1夹在平面BEF和平面DA1C1之间部分的体积．解(1)证明：∵E，F分别是A1B1和B1C1的中点，∴EF∥A1C1，∵EF⊄平面DA1C1，A1C1⊂平面DA1C1，∴EF∥平面DA1C1，∵D，E分别是AB和A1B1的中点，∴DB綊A1E，∴四边形BDA1E是平行四边形，∴BE∥A1D，∵BE⊄平面DA1C1，A1D⊂平面DA1C1，∴BE∥平面DA1C1，∵BE∩EF＝E，∴平面BEF∥平面DA1C1.(2)由题图可知，三棱柱ABC－A1B1C1夹在平面BEF和平面DA1C1之间的部分，可看作三棱台DBG－A1B1C1减掉三棱锥B－B1EF后的剩余部分，∵S△DBG＝S△B1EF＝34×12＝34，S△A1B1C1＝34×22＝3，∴三棱台DBG－A1B1C1的体积为V1＝13×34＋34＋3×3＝734，三棱锥B－B1EF的体积V2＝13×34×3＝34，∴三棱柱ABC－A1B1C1夹在平面BEF和平面DA1C1之间的部分的体积为V＝V1－V2＝734－34＝332.B卷一、选择题1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是()答案C解析若俯视图为选项C中的图形，则该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P－ABCD，如图所示，该四棱锥的体积V＝13×(2×2)×2＝83，符合题意．若俯视图为其他选项中的图形，则根据三视图易判断对应的几何体不存在，故选C.2．如图，圆锥的底面直径AB＝2，母线长VA＝3，点C在母线VB上，且VC＝1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到达点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是()A．13B．7C．433D．332答案B解析沿母线VA展开后，从侧面点A到点C的距离即为△VAC中AC的长度，又AB︵的长为π，VA＝3，所以∠AVC＝π3，因为VC＝1，VA＝3，所以由余弦定理可得AC2＝12＋32－2×1×3×cosπ3＝7，解得AC＝7，故选B.3．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为()A．215B．15C．2D．4答案B解析该几何体的直观图，如图所示．S△PBC＝12×2×2×sin120°＝3，S△PAC＝12×2×2＝2，S△ABC＝12×2×2＝2，在△PAB中，PA＝AB＝22，PB＝23，S△PAB＝12×23×222－32＝15，所以最大面的面积为15.4．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝ba，若Q是A1D1上的定点，P在C1D1上滑动，则四面体PQEF的体积()A．是变量且有最大值B．是变量且有最小值C．是变量无最大、最小值D．是常量答案D解析∵EF是定长，Q到EF的距离就是Q到AB的距离，也为定长，即底和高都是定值，∴△QEF的面积是定值，∵C1D1∥平面QEF，P在C1D1上滑动，∴P到平面QEF的距离是定值．即三棱锥的高也是定值，于是体积固定．∴三棱锥P－QEF的体积是定值，即四面体PQEF的体积是定值．5．(2019·河南焦作四模)如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A．32B．20C．10D．8答案B解析在长方体中进行切割，作出几何体的直观图，即几何体ABCD－PQC1R，如图所示．两个几何体在斜面处扣在一起，可以构成一个长方体，该长方体的底面是边长为2的正方形，高为10，所以该几何体的体积为12×22×10＝20，故选B.6．(2019·北京东城区二模)鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作．下图1是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中一个构件的三视图(图中单位：mm)，则此构件的体积为()A．34000mm3B．33000mm3C．32000mm3D．30000mm3答案C解析由三