2020届高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第一部分 刷考点 考点十六 直线与圆锥曲线综合问题课件 理

考点十六直线与圆锥曲线综合问题第一部分刷考点A卷一、选择题1．(2019·安徽芜湖模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为3，右焦点到一条渐近线的距离为2，则此双曲线的焦距等于()A．3B．23C．3D．6答案B解析由题意得焦点F(c,0)到渐近线bx＋ay＝0的距离为d＝|bc＋0|a2＋b2＝bcc＝b，即b＝2，又ca＝3，c2＝a2＋b2，可解得c＝3，∴该双曲线的焦距为2c＝23，故选B.2．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为()A．43B．－43C．±43D．－169答案B解析由题意可设点A的坐标为(x0,1)，代入y2＝4x得12＝4x0，x0＝14，又焦点F的坐标为(1,0)，所以kAB＝kAF＝1－014－1＝－43，故选B.3．(2019·河南安阳二模)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点为F，右顶点为A，直线x＝a与双曲线的一条渐近线的交点为B.若∠BFA＝30°，则双曲线的离心率为()A．2B．3C．2D．3答案C解析由题意可得A(a,0)，双曲线的渐近线方程为ay±bx＝0，不妨设B点为直线x＝a与y＝bax的交点，则B点的坐标为(a，b)，因为AB⊥FA，∠BFA＝30°，所以tan∠BFA＝|AB||FA|＝ba＋c＝e2－1e＋1＝33，解得e＝2，故选C.4．(2019·四川五校高三联考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝6，点P到直线l的距离不小于65，则椭圆C的离心率的取值范围是()A．0，59B．0，32C．0，53D．13，32答案C解析如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AF′BF是平行四边形，可得6＝|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝2a，得a＝3，取P(0，b)，由点P到直线l的距离不小于65，可得|－3b|－32＋42≥65，解得|b|≥2.所以e＝ca＝1－b2a2≤1－49＝53，故选C.5．已知圆O：x2＋y2＝4，从圆上任意一点P向y轴作垂线段PP1(P1在y轴上)，点M在直线PP1上，且向量P1M→＝2P1P→，则动点M的轨迹方程是()A．4x2＋16y2＝1B．16x2＋4y2＝1C．x24＋y216＝1D．x216＋y24＝1答案D解析由题可知P是MP1的中点，设点M(x，y)，P(x0，y0)，P1(0，y0)，则x0＝12x，y0＝y.又x20＋y20＝4，故x22＋y2＝4，即x216＋y24＝1.故选D.6．(2019·安徽皖南八校第三次联考)已知F是椭圆C：x23＋y22＝1的右焦点，P为椭圆C上一点，A(1,22)，则|PA|＋|PF|的最大值为()A．4＋2B．42C．4＋3D．43答案D解析如图，设椭圆的左焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝23，又F′(－1,0)，|AF′|＝－1－12＋222＝23，∴|PA|＋|PF|＝23＋|PA|－|PF′|，根据图形可以看出||PA|－|PF′||≤|AF′|，∴当P在线段AF′的延长线上时，|PA|－|PF′|最大，为|AF′|＝23，∴|PA|＋|PF|的最大值为23＋23＝43，故选D.7．已知抛物线y2＝4x上有10个不同的点，坐标分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P10(x10，y10)，且横坐标x1，x2，x3，…，x10成等差数列，x2，x9为方程x2－5x＋6＝0的两个根，抛物线的焦点为F，则|FP1|＋|FP2|＋…＋|FP10|的值为()A．20B．30C．25D．35答案D解析由x2，x9为方程x2－5x＋6＝0的两个根，可知x2＋x9＝5，x1＋x2＋…＋x10＝x1＋x10×102＝x2＋x9×102＝25，|FP1|＋|FP2|＋…＋|FP10|＝x1＋x2＋…＋x10＋10＝35.8．已知抛物线y2＝x，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，且直线AB与x轴交于点(a,0)，若∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，则实数a的取值范围是()A．[1，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－∞，1]答案B解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10y2)，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋a，由x＝my＋a，y2＝x得y2－my－a＝0，则y1＋y2＝m，y1y2＝－a，又因为∠AOB为锐角，所以OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y20，因为y1y20，所以y1y2－1，即a1.二、填空题9．已知直角坐标系中A(－2,0)，B(2,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹方程为________，轨迹为________．答案x2＋y2－12x＋4＝0一个圆解析设动点P的坐标为(x，y)，因为|PA|＝2|PB|，所以x＋22＋y2＝2x－22＋y2，整理得x2＋y2－12x＋4＝0，轨迹为一个圆．10．已知P为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点，F1，F2是其左、右焦点，∠F1PF2取最大值时cos∠F1PF2＝13，则椭圆的离心率为________．答案33解析易知∠F1PF2取最大值时，点P为椭圆x2a2＋y2b2＝1与y轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a2－2a23＝4c2，即a＝3c，所以椭圆的离心率e＝ca＝33.11．已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点P在Γ上且|PK|＝2|PF|，则△PKF的面积为________．答案8解析由已知得，F(2,0)，K(－2,0)，过P作PM垂直于准线，M为垂足，则|PM|＝|PF|，又|PK|＝2|PF|，所以|PM|＝|MK|＝|PF|，所以PF⊥x轴，△PFK的高等于|PF|，不妨设P(m2,22m)(m0)，则m2＋2＝4，解得m＝2，故△PFK的面积S＝4×22×2×12＝8.12．(2019·山东潍坊三模)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，|FA|为半径的圆交C的右支于M，N两点，且线段AM的垂直平分线经过点N，则C的离心率为________．答案43解析由题意得A(－a,0)，F(c,0)，另一个焦点F′(－c,0)，由对称性知，|AM|＝|AN|，又因为线段AM的垂直平分线经过点N，则|AN|＝|MN|，可得△AMN是正三角形，如图所示，连接MF，则|AF|＝|MF|＝a＋c，由图象的对称性可知，∠MAF＝∠NAF＝12∠MAN＝30°，又因为△AMF是等腰三角形，则∠AFM＝120°，在△MFF′中，|FF′|2＋|FM|2－2|FF′||FM|cos120°＝|F′M|2＝(|FM|＋2a)2，即4c2＋(a＋c)2－2×2c(a＋c)×－12＝(3a＋c)2，整理得3c2－ac－4a2＝0，即(c＋a)·(3c－4a)＝0，则3c－4a＝0，故e＝ca＝43.三、解答题13．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝x22，D为直线y＝－12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E0，52为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．解(1)证明：设Dt，－12，A(x1，y1)，则x21＝2y1.因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故y1＋12x1－t＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点0，12.(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋12.由y＝tx＋12，y＝x22可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝1＋t2|x1－x2|＝1＋t2×x1＋x22－4x1x2＝2(t2＋1)．设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝t2＋1，d2＝2t2＋1.因此，四边形ADBE的面积S＝12|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3)t2＋1.设M为线段AB的中点，则Mt，t2＋12.因为EM→⊥AB→，而EM→＝(t，t2－2)，AB→与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝42.因此，四边形ADBE的面积为3或42.14．(2019·湖北武汉5月模拟)如图，O为坐标原点，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦距等于其长半轴长，M，N为椭圆C的上、下顶点，且|MN|＝23.(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(0,1)作直线l交椭圆C于异于M，N的A，B两点，直线AM，BN交于点T.求证：点T的纵坐标为定值3.解(1)由题意可知2c＝a,2b＝23，又a2＝b2＋c2，则b＝3，c＝1，a＝2，故椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)证明：由题意知直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2≠0)，由y＝kx＋1，3x2＋4y2－12＝0，得(4k2＋3)x2＋8kx－8＝0，所以x1＋x2＝－8k4k2＋3，x1x2＝－84k2＋3，且x1＋x2＝kx1x2，又lBN：y＝y2＋3x2·x－3，lAM：y＝y1－3x1·x＋3，由y＝y2＋3x2·x－3，y＝y1－3x1·x＋3，得y－3y＋3＝y1－3x1·x2y2＋3，故y－3y＋3＝kx1＋1－3x1·x2kx2＋1＋3＝kx1x2＋1－3x2kx1x2＋1＋3x1，整理得y－323＝kx1x2＋1－3x21＋3x1－1－3x2，故y＝3×2kx1x2＋21－3x21＋3x1－1－3x2＋1＝3×2kx1x2＋x1＋x2＋3x1－x21＋3x1－1－3x2＝3×3x1＋x2＋3x1－x23x1＋x2＋x1－x2＝3.故点T的纵坐标为3.B卷一、选择题1．已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右两个焦点，过点F1作垂直于x轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，△ABF2是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1,2)B．(1，5)C．(1,5)D．(5，＋∞)答案B解析利用双曲线的几何性质求解．由等腰△ABF2是锐角三角形可得∠AF2F145°，即|AF1||F1F2|，所以|AF1|＝bca|F1F2|＝2c，所以b2＝c2－a24a2，离心率e＝ca5，又双曲线的离心率e1，所以离心率e的取值范围是(1，5)，故选B.2．已知椭圆C：x29＋y25＝1，若直线l经过M(0,1)，与椭圆交于A，B两点，且MA→＝－23MB→，则直线l的方程为()A．y＝±12x＋1B．y＝±13x＋1C．y＝±x＋1D．y＝±23x＋1答案B解析依题意，设直线l：y＝kx＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．则由y＝kx＋1，x29＋y25＝1，消去y，整理得(9k2＋5)x2＋18kx－36＝0，Δ＝(18k)2＋4×36×(9k2＋5)0，x1＋x2＝－18k9k2＋5，x1x2＝－369k2＋5，x1＝－2