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考点十八排列与组合第一部分刷考点A卷一、选择题1．“对称数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如121,666,54345等，则在所有的六位数中，不同的“对称数”的个数是()A．100B．900C．999D．1000答案B解析根据题意，对6位对称数，由于个位和十万位相同，十位和万位相同，百位和千位相同，个位有9种，十位和百位均有10种，故根据分步计数原理可得共有9×10×10＝900个．2．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种答案A解析先为甲地选一名老师，有2种选法，再为甲地选两个学生，有C24＝6种选法，甲地定了之后，乙地的教师和学生也定了，根据分步计数原理，有2×6＝12种方案．3．(2019·甘肃第一次诊断考试)《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数共14种计算器械的使用方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有()A．C414C510C55A33A22种B．C414C510C55A22A33种C．C414C510C55A22种D．C414C510C55种答案A解析先将14种计算器械分为三组，方法数有C414C510C55A22种，再排给3个人，有A33种排法，所以不同的分配方法数有C414C510C55A22×A33种，故选A.4．(2019·湖南师大附中模拟三)本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有()A．72种B．144种C．288种D．360种答案B解析第一步排语文、英语、化学、生物4种，且化学排在生物前面，有A24＝12种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空档中的2个，有A24＝12种排法，所以不同的排表方法共有12×12＝144种，故选B.5．(2019·山东日照第一次模拟考试)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是()A．210B．84C．343D．336答案D解析由题意分组解决，因为对于7个台阶上每一个只站一人有A37种；若有一个台阶站2人，另一个站1人共有C13A27种，所以共有不同的站法种数是A37＋C13A27＝336种，故选D.6．将编号1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的编号不能相同，则不同的放球方法有()A．6种B．9种C．12种D．18种答案C解析由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，先确定哪两个球在同一盒子中，有C24＝6种方法，再确定放球方法，都是2种方法，由分步乘法计数原理得不同的放球方法有2×6＝12种．7．(2019·江西名校5月联考)2019年4月25～27日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为()A．198B．268C．306D．378答案A解析分两种情况，若选两个国内媒体一个国外媒体，有C26C13A22＝90种不同提问方式；若选两个外国媒体一个国内媒体，有C16C23A33＝108种不同提问方式，所以共有90＋108＝198种提问方式．8.现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有()A．24种B．30种C．36种D．48种\答案D解析分两种情况：一种情况是用三种颜色有C34A33种方法；另一种情况是用四种颜色有A44种方法．所以不同的着色方法共有48种．二、填空题9．某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考试，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是_____．答案18解析分两种情况：①从物、化、生中选两门，剩下的里面选一门，有C23C13＝9种；②从物、化、生中选一门，剩下的里面选两门，有C13C23＝9种．共有9＋9＝18种选法．10．甲、乙、丙、丁四人站成一排，则甲乙相邻，甲丙不相邻有________种排法．答案8解析分两类讨论：①甲站在边上时，乙的位置就确定了，其余两人全排，故有A12A22＝4种．②甲乙丁三人捆绑一起(甲在中间)看作一个元素，与丙全排列，有A22A22＝4种．由分类加法计数原理知有8种排法．11．对坐在一排的4人重新安排座位时，恰有一个人坐在原来的位置上，则共有________种不同的排法．答案8解析第一步，先从4个人里选3个进行调换；第二步，因为每个人都不能坐在原来的座位上，因此第一个人有两种坐法，被坐了自己座位的那个人只能坐在第三个人的座位上(一种坐法)，才能保证第三个人也不坐在自己的座位上．因此三个人调换有两种调换方法．故不同的调换方法有C34×2＝8种．12．(2019·湖北1月联考)某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为__________．答案10解析设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻的种数相当于先将(n－3)个停车位排放好，再将这3辆共享汽车插入到所成(n－2)个间隔中，故有A3n－2种；恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一个插入到将(n－3)个停车位排放好所成(n－2)个间隔中，故有A23×A2n－2种，因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，所以A3n－2＝A23×A2n－2，解得n＝10.三、解答题13．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教．(1)4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？(2)一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一所学校去1个人，有多少种不同的分配方案？解(1)根据题意，分3步进行分析：①在7人中选出4人，将其分到甲学校，有C47＝35种选法；②在剩余3人中选出2人，将其分到乙学校，有C23＝3种选法；③将剩下的1人分到丙学校，有1种情况，则一共有35×3＝105种分配方案．(2)根据题意，分2步进行分析：①将7人分成3组，人数依次为4,2,1，有C47×C23×C11＝105种分组方法；②将分好的三组全排列，对应3个学校，有A33＝6种情况，则一共有105×6＝630种分配方案．B卷一、选择题1．某彩票公司每天开奖一次，从1,2,3,4四个号码中随机开出一个作为中奖号码，开奖时如果开出的号码与前一天的相同，就要重开，直到开出与前一天不同的号码为止．如果第一天开出的号码是4，那么第五天开出的号码也同样是4的所有可能的情况有()A．14种B．21种C．24种D．35种答案B解析第一天开出4，第五天同样开出4，则第二天开出的号码有3种情况，如果第三天开出的号码是4，则第四天开出的号码有3种情况；如果第三天开出的号码不是4，则第四天开出的号码有2种情况，所以满足条件的情况有3×1×3＋3×2×2＝21种．2．把7个字符a，a，a，b，b，α，β排成一排，要求三个“a”两两不相邻，且两个“b”也不相邻，则这样的排法共有()A．144种B．96种C．30种D．12种答案B解析先排列b，b，α，β，若α，β不相邻，有A22C23种，若α，β相邻，有A33种，共有6＋6＝12种，从所形成的5个空位中选3个插入a，a，a，有C35种，所以三个“a”两两不相邻的排法共有12×C35＝120种，若b，b相邻时，从所形成的4个空中选3个插入a，a，a，有C34种，共有A33×C34＝24种，所以三个“a”两两不相邻，且两个“b”也不相邻，这样的排法共有120－24＝96种．3．(2019·广西桂林一模)中国古代的五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有()A．18种B．24种C．36种D．54种答案D解析①若甲选《春秋》，则有C13A33＝18种情况；②若甲不选《春秋》，则有A23A33＝36种情况．所以5名同学所有可能的选择有18＋36＝54种情况，故选D.4．(2019·辽宁丹东质量测试二)从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，不同选法共有()A．156种B．168种C．180种D．240种答案B解析从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队有C16C15C24＝6×5×4×32＝180种选法，服务队中没有女生的选法有C14C13C22＝4×3×1＝12种，所以要求服务队中至少有1名女生，不同选法共有180－12＝168种，故选B.5．(2019·黑龙江哈尔滨六中第二次模拟)2020年东京夏季奥运会将设置4×100米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场，若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队的排兵布阵的方式共有()A．144种B．24种C．12种D．6种答案D解析由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有A22＝2种安排方法，其他两名运动员有A22＝2种安排方法，共计2×2＝4种方法，若甲承担自由泳，则乙运动员只能安排蝶泳，其他两名运动员有A22＝2种安排方法，共计2种方法，所以中国队共有4＋2＝6种不同的安排方法，故选D.6．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的种数为()A．60B．72C．84D．96答案C解析根据题意，分3种情况讨论：①若小明的父母只有1人与小明相邻且父母不相邻，先在其父母中选一人与小明相邻，有C12＝2种情况，将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A22＝2种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有A22×A23＝12种安排方法，此时有2×2×12＝48种不同坐法；②若小明的父母只有1人与小明相邻且父母相邻，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有2×2＝4种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33＝6种情况，此时有2×2×6＝24种不同坐法；③小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A22＝2种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33＝6种情况，此时，共有2×6＝12种不同坐法；则一共有48＋24＋12＝84种不同坐法．7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”，“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有()A．120种B．156种C．188种D．240种答案A解析当“数”排在第一节时有A