2020届高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第一部分 刷考点 考点三 复数课件 理

考点三复数第一部分刷考点A卷一、选择题1．(2019·湖南衡阳三模)已知i是虚数单位，复数i·z＝1－2i，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析∵复数i·z＝1－2i，∴－i·i·z＝－i(1－2i)，z＝－2－i，则复数z在复平面内对应的点(－2，－1)位于第三象限．故选C.2．(2019·山东潍坊5月三模)设复数z满足2＋iz＝i，则|z|＝()A．1B．5C．3D．5答案B解析∵2＋iz＝i，∴z＝2＋ii＝2i＋1＝2ii2＋1＝1－2i，∴|z|＝1＋4＝5，故选B.3．(2019·安徽芜湖5月模拟)设复数z满足z＋1z＝i，则下列说法正确的是()A．z为纯虚数B．z的虚部为－12iC．z－＝12－12iD．|z|＝22答案D解析∵z＋1＝zi，∴z＝－12－12i，∴|z|＝22，复数z的虚部为－12，z－＝－12＋12i，故选D.4．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1答案C解析由已知条件，可得z＝x＋yi.∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.5．复数z＝|1＋2i|1＋i(i为虚数单位)的共轭复数是()A．3－i2B．3＋i2C．52＋52iD．52－52i答案C解析由题意，得z＝|1＋2i|1＋i＝51＋i＝51－i2＝52－52i，∴z－＝52＋52i.故选C.6．已知i为虚数单位，若复数z＝a1－2i＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝()A．－5B．－1C．－13D．－53答案D解析z＝a1－2i＋i＝a1＋2i1－2i1＋2i＋i＝a5＋2a＋55i，∵复数z＝a1－2i＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，∴－a5＝2a＋55，解得a＝－53.故选D.7．若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1＝2＋i，i为虚数单位，则z1z2＝()A．－5B．5C．－4＋iD．－4－i答案A解析因为z1＝2＋i在复平面内的对应点(2,1)关于虚轴(y轴)的对称点为(－2,1)，因此z2＝－2＋i，z1z2＝i2－4＝－5.故选A.8．若复数z＝(a＋i)2(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则|z|＝()A．1B．3C．2D．4答案C解析由z＝(a＋i)2＝a2－1＋2ai在复平面内对应的点在虚轴上，知a2－1＝0，即a＝±1，所以z＝±2i，故|z|＝2，故选C.二、填空题9．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数z1－2i的共轭复数是________．答案－i解析复数z1－2i＝2＋i1－2i＝－2i2＋i1－2i＝i，其共轭复数为－i.10．(2019·湖北部分重点中学联考)1－i20191－i＝________.答案i解析1－i20191－i＝1－i31－i＝1＋i1－i＝1＋i21－i1＋i＝2i2＝i.11．欧拉公式：eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)，由瑞士数学家欧拉发明，它建立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，(eπ2i)2＝________.答案－1解析由eix＝cosx＋isinx得(eπ2i)2＝cosπ2＋isinπ22＝i2＝－1.12．已知a1－i＝－1＋bi，其中a，b是实数，则复数a－bi在复平面内对应的点位于第________象限．答案二解析由a1－i＝－1＋bi，得a＝(－1＋bi)(1－i)＝(b－1)＋(b＋1)i，∴b＋1＝0，a＝b－1，即a＝－2，b＝－1，∴复数a－bi＝－2＋i在复平面内对应的点的坐标为(－2,1)，位于第二象限．三、解答题13．如图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO→表示的复数，BC→表示的复数；(2)对角线CA→表示的复数．解(1)∵AO→＝－OA→，∴AO→表示的复数为－3－2i，∵BC→＝AO→，∴BC→表示的复数为－3－2i.(2)∵CA→＝OA→－OC→，∴CA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.14．已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，且z1－z2＝513＋1213i，求cos(α＋β)的值．解∵z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，∴z1－z2＝(cosα－cosβ)＋i(sinα＋sinβ)＝513＋1213i.∴cosα－cosβ＝513，①sinα＋sinβ＝1213.②由①2＋②2，得2－2cos(α＋β)＝1.∴cos(α＋β)＝12.B卷一、选择题1．(2019·安徽合肥第三次教学质量检测)已知i是虚数单位，复数z满足z＋z·i＝3＋i，则复数z的共轭复数为()A．1＋2iB．1－2iC．2＋iD．2－i答案C解析z＋z·i＝3＋i可化为z＝3＋i1＋i，∵z＝3＋i1＋i＝3＋i1－i1＋i1－i＝4－2i2＝2－i.∴z的共轭复数为z－＝2＋i，故选C.2．(2019·四川双流中学一模)已知点Z1，Z2的坐标分别为(1,0)，(0,1)，若向量Z1Z2→对应复数z，则复数z对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B解析因为点Z1，Z2的坐标分别为(1,0)，(0,1)，所以Z1Z2→＝(－1,1)，即复数z对应点位于第二象限，故选B.3．(2019·山东栖霞高考模拟)已知复数z＝(a＋i)(1－i)(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线y＝2x上，则实数a的值为()A．0B．－1C．1D．－13答案D解析因为z＝(a＋i)(1－i)＝a＋1＋(1－a)i，对应的点为(a＋1,1－a)，因为点在直线y＝2x上，所以1－a＝2(a＋1)，解得a＝－13.故选D.4．(2019·河南十所名校测试七)设复数z＝a＋i，z－是其共轭复数，若zz－＝35＋45i，则实数a＝()A．4B．3C．2D．1答案C解析∵z＝a＋i，∴z－＝a－i，又zz－＝35＋45i，则a＋i＝3a5＋45＋4a5－35i，∴a＝2.5．(2019·北京昌平二模)已知复数z＝－1＋a(1＋i)(i为虚数单位，a为实数)在复平面内对应的点位于第二象限，则复数z的虚部可以是()A．－12iB．12iC．－12D．12答案D解析因为z＝－1＋a(1＋i)＝(a－1)＋ai，所以a－10，a0，即0a1，故选D.6．设有下面四个命题：p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z－2；p4：若复数z∈R，则z－∈R.其中的真命题为()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案B解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若1z∈R，即1a＋bi＝a－bia2＋b2∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∈/R，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝z－2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇒/a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒z－＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题，故选B.7．下面四个命题中，①复数z＝a＋bi(a，b∈R)的实部、虚部分别是a，b；②复数z满足|z＋1|＝|z－2i|，则z对应的点构成一条直线；③由向量a的性质|a|2＝a2，可类比得到复数z的性质|z|2＝z2；④i为虚数单位，则1＋i＋i2＋…＋i2020＝1.正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案D解析①复数z＝a＋bi(a，b∈R)的实部为a，虚部为b，故正确；②设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z＋1|＝|z－2i|计算得2a＋4b－3＝0，故正确；③设z＝a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时，|z|2＝z2不成立，故错误；④1＋i＋i2＋…＋i2020＝1，故正确．8．已知复平面内，定点M与复数m＝1＋2i(i为虚数单位)对应，动点P与z＝x＋yi对应，那么满足|z－m|＝2的点P的轨迹方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝2B．(x－1)2＋(y－2)2＝4C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝4答案B解析由题意，知在复平面内，z－m对应的点为(x－1，y－2)．则由|z－m|＝2，得x－12＋y－22＝2，即(x－1)2＋(y－2)2＝4，故选B.二、填空题9．(2019·广东韶关4月模拟)已知z－是z的共轭复数，且满足(1＋i)z－＝4(其中i是虚数单位)，则|z|＝________.答案22解析由(1＋i)z－＝4，得，z－＝41＋i＝41－i1＋i1－i＝2－2i，∴|z|＝|z－|＝22＋22＝22.10．(2019·天津北辰模拟)用Re(z)表示复数z的实部，用Im(z)表示复数z的虚部，若已知复数z满足z－(1－i)＝7＋3i，其中z－是复数z的共轭复数，则Re(z)＋Im(z)＝________.答案－3解析由题意得，z－＝7＋3i1－i＝7＋3i1＋i1－i1＋i＝4＋10i2＝2＋5i，∴z＝2－5i，则Re(z)＋Im(z)＝2－5＝－3.11．若2－i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则bc＝________.答案－20解析把复数根2－i代入方程中，得(2－i)2＋b(2－i)＋c＝0，即3＋2b＋c－(4＋b)i＝0，所以3＋2b＋c＝0，4＋b＝0，解得b＝－4，c＝5，故bc＝－20.12．定义复数的一种新运算z1@z2＝|z1|＋|z2|2(等式右边为普通运算)．若复数z＝x＋yi，i为虚数单位，且实数x，y满足x＋y＝22，则z－@z的最小值为________．答案2解析z－@z＝|z－|＋|z|2＝2|z|2＝|z|＝x2＋y2.由于x＋y＝22，所以z－@z＝2x－22＋4，故x＝2时，z－@z取最小值2.三、解答题13．设虚数z满足|2z＋15|＝3|z－＋10|.(1)计算|z|的值；(2)是否存在实数a，使za＋az∈R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解(1)设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则z－＝a－bi，∵|2z＋15|＝3|z－＋10|，∴|(2a＋15)＋2bi|＝3|(a＋10)－bi|，∴2a＋152＋2b2＝3a＋102＋b2，∴a2＋b2＝75，∴|z|＝a2＋b2＝53.(2)假设存在实数a，使za＋az∈R.设z＝c＋di(c，d∈R且d≠0)，则有za＋az＝c＋dia＋ac＋di＝ca＋dai＋ac－dic2＋d2＝ca＋acc2＋d2＋da－adc2＋d2i∈R，∴da－adc2＋d2＝0，∵d≠0，∴a＝±c2＋d2，由(1)知c2＋d2＝53，∴a＝±53.14．(2019·辽宁省鞍山一中一模)设z＋1为关于x的方程x2＋mx＋n＝0，m，n∈R的虚根，i为虚数单位．(1)当z＝－1＋i时，求m，n的值；(2)若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2＋4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．解(1)因为z＝－1＋i，所以z＋1＝i，则i2＋mi＋n＝0，易得m＝0，n＝1.(2)设z