2020届高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第一部分 刷考点 考点二十二 坐标系与参数方程课件 理

考点二十二坐标系与参数方程第一部分刷考点A卷解答题1．在直角坐标系xOy中，直线l：y＝x，圆C：x＝－1＋cosφ，y＝－2＋sinφ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l与圆C的极坐标方程；(2)设直线l与圆C的交点为M，N，求△CMN的面积．解(1)将C的参数方程化为普通方程，得(x＋1)2＋(y＋2)2＝1，∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴直线l的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2＋2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0，得ρ2＋32ρ＋4＝0，解得ρ1＝－22，ρ2＝－2，|MN|＝|ρ1－ρ2|＝2，∵圆C的半径为1，∴△CMN的面积为12×2×1×sinπ4＝12.2．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2t＋1，y＝t－1(t是参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(1)求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程并说明各曲线名称；(2)判断曲线C1与曲线C2的位置关系？若相交，求出弦长．解(1)由x＝2t＋1，y＝t－1消去t得x－2y－3＝0，所以曲线C1的普通方程为x－2y－3＝0，是斜率为12的直线．由ρ＝4cosθ两边同乘以ρ得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x，配方得(x－2)2＋y2＝4，即曲线C2的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．(2)由(1)知，曲线C2：(x－2)2＋y2＝4的圆心为(2,0)，半径为2，由点到直线的距离公式得，圆心(2,0)到直线x－2y－3＝0的距离为d＝|2－0－3|5＝552，所以曲线C1与曲线C2相交，弦长为222－552＝2955.3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是x＝2cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)，以射线Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ－3＝0.(1)求曲线C的普通方程，及直线l的参数方程；(2)求直线l与曲线C相交所得的弦AB的长．解(1)曲线C的参数方程化成普通方程为x24＋y23＝1，因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以l的直角坐标方程为x－y－3＝0，其倾斜角为π4，过点(3，0)，所以直线方程化成参数方程为x＝3＋tcosπ4，y＝tsinπ4(t为参数，且t∈R)．(2)将x＝3＋tcosπ4，y＝tsinπ4代入x24＋y23＝1，得7t2＋66t－6＝0，Δ＝(66)2－4×7×(－6)＝3840，设方程的两根是t1，t2，则t1＋t2＝－667，t1t2＝－67，所以AB＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝3847＝867.故直线l与曲线C相交所得的弦AB的长为867.4．(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B2，π4，C2，3π4，D(2，π)，弧AB︵，BC︵，CD︵所在圆的圆心分别是(1,0)，1，π2，(1，π)，曲线M1是弧AB︵，曲线M2是弧BC︵，曲线M3是弧CD︵.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝3，求P的极坐标．解(1)由题设可得，弧AB︵，BC︵，CD︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ，所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ0≤θ≤π4，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθπ4≤θ≤3π4，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ3π4≤θ≤π.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cosθ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sinθ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3；若3π4≤θ≤π，则－2cosθ＝3，解得θ＝5π6.综上，P的极坐标为3，π6或3，π3或3，2π3或3，5π6.5．(2019·河南洛阳第三次统考)已知极点与坐标原点O重合，极轴与x轴非负半轴重合，M是曲线C：ρ＝2sinθ上任一点，点P满足OP→＝3OM→.设点P的轨迹为曲线Q.(1)求曲线Q的平面直角坐标方程；(2)已知曲线Q向上平移1个单位后得到曲线N，设曲线N与直线l：x＝－t，y＝t(t为参数)相交于A，B两点，求|OA|＋|OB|的值．解(1)设P(ρ，θ)，∵OP→＝3OM→，∴点M的极坐标为ρ3，θ，代入曲线C，得ρ3＝2sinθ，即曲线Q的极坐标方程为ρ＝6sinθ，∵ρ2＝6ρsinθ，∴x2＋y2＝6y，∴x2＋(y－3)2＝9，∴曲线Q的平面直角坐标方程为x2＋(y－3)2＝9.(2)曲线Q向上平移1个单位后得到曲线N的方程为x2＋(y－4)2＝9.l的参数方程化为x＝－22t，y＝22t，两方程联立得t2－42t＋7＝0，∴t1＋t2＝42，t1t2＝7，∴|OA|＋|OB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝42.6．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1－t21＋t2，y＝4t1＋t2(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．解(1)因为－11－t21＋t2≤1，且x2＋y22＝1－t21＋t22＋4t21＋t22＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋y24＝1(x≠－1)，l的直角坐标方程为2x＋3y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为x＝cosα，y＝2sinα(α为参数，－παπ)．C上的点到l的距离为|2cosα＋23sinα＋11|7＝4cosα－π3＋117.当α＝－2π3时，4cosα－π3＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.B卷解答题1．(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ00)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．解(1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sinπ3＝23.由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcosθ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P2，π3在曲线ρcosθ－π3＝2上，所以，l的极坐标方程为ρcosθ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，所以θ的取值范围是π4，π2.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈π4，π2.2．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝－1＋22t，y＝1＋22t(t为参数)，圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l及圆C的极坐标方程；(2)若直线l与圆C交于A，B两点，求cos∠AOB的值．解(1)由直线l的参数方程x＝－1＋22t，y＝1＋22t得，其普通方程为y＝x＋2，∴直线l的极坐标方程为ρsinθ＝ρcosθ＋2.又∵圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入并化简得ρ＝4cosθ＋2sinθ，∴圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ＋2sinθ.(2)将直线l：ρsinθ＝ρcosθ＋2，与圆C：ρ＝4cosθ＋2sinθ联立，得(4cosθ＋2sinθ)(sinθ－cosθ)＝2，整理得sinθcosθ＝3cos2θ，∴θ＝π2或tanθ＝3.不妨记点A对应的极角为π2，点B对应的极角为θ，且tanθ＝3.于是，cos∠AOB＝cosπ2－θ＝sinθ＝31010.3．(2019·湖北4月调研)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2＋2cosα，y＝2sinα(α是参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ.(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)若射线θ＝β0βπ2与曲线C1交于O，A两点，与曲线C2交于O，B两点，求|OA|＋|OB|取最大值时tanβ的值．解(1)由x＝2＋2cosα，y＝2sinα得x2－22x＋y2＝0，将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入得ρ＝22cosθ，故曲线C1的极坐标方程为ρ＝22cosθ.由ρ＝4sinθ得ρ2＝4ρsinθ，将x2＋y2＝ρ2，y＝ρsinθ代入得x2＋y2＝4y，故曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0.(2)设点A，B的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ2，θ)，将θ＝β0βπ2分别代入曲线C1，C2的极坐标方程得ρ1＝22cosβ，ρ2＝4sinβ，则|OA|＋|OB|＝22cosβ＋4sinβ＝26sinβ·63＋cosβ·33＝26sin(β＋φ)，其中φ为锐角，且满足sinφ＝33，cosφ＝63，当β＋φ＝π2时，|OA|＋|OB|取最大值，此时β＝π2－φ，tanβ＝tanπ2－φ＝sinπ2－φcosπ2－φ＝cosφsinφ＝6333＝2.4．已知直线l的参数方程为x＝tcosφ，y＝－2＋tsinφ(t为参数，0≤φπ)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝1，l与C交于不同的两点P1，P2.(1)求φ的取值范围；(2)以φ为参数，求线段P1P2中点M的轨迹的参数方程．解(1)曲线C的极坐标方程为ρ＝1，根据ρ2＝x2＋y2可得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝1，将x＝tcosφ，y＝－2＋tsinφ代入x2＋y2＝1，得t2－4tsinφ＋3＝0.(*)由Δ＝16sin2φ－120得|sinφ|32.又0≤φπ，所以φ的取值范围是π3，2π3.(2)由(1)中的(*)可知t1＋t22＝2sinφ，代入x＝tcosφ，y＝－2＋tsinφ得x＝2sinφcosφ，y＝－2＋2sin2φ，整理得P1P2中点M的轨迹的参数方程为x＝sin2φ，y＝－1－cos2φφ为参数，π3φ2π3.5．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝1＋tcosα，y＝tsinα(t为参数，0≤απ)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝21＋sin2θ.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设点M的坐标为(1,0)，直线l与曲线C相交于A，B两点，求1|MA|＋1|MB|的值．解(1)曲线ρ2＝21＋sin2θ，即ρ2＋ρ2sin2θ＝2，∵ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，∴曲线C的直角坐标方程为x2＋2y2＝2，即x22＋y2＝1.(2)将x＝1＋tcosα，y＝tsinα代入x2＋2y2＝2并整理得(1＋sin2α)t2＋2tcosα－1＝0，∴t1＋t2＝－2cosα1＋sin2α，t1·t2＝－11＋sin2α，∴1|MA|＋1|MB|＝|MA|