2020届高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第二部分 刷题型 压轴题（三）课件 文

压轴题(三)第二部分刷题型12．(2019·江西上饶重点中学六校第二次联考)已知A(－2，0)，B(2,0)，若x轴上方的点P满足对任意λ∈R，恒有|AP→－λAB→|≥2成立，则P点的纵坐标的最小值为()A.14B.12C．1D．2答案D解析设P(x，y)，则AP→＝(x＋2，y)，AB→＝(4,0)，故AP→－λAB→＝(x＋2－4λ，y)，|AP→－λAB→|≥2恒成立，即|AP→－λAB→|2≥4恒成立，则(x＋2－4λ)2＋y2－4≥0，故y2－4≥0，又由题意可知y0，所以y≥2，即P点的纵坐标的最小值为2.故选D.16．(2019·湖北宜昌元月调考)已知函数f(x)＝x2＋(a－1)x－a，若函数g(x)＝f[f(x)]有且仅有两个零点，则实数a的取值集合为________．答案{－1}解析由题意得f(x)＝x2＋(a－1)x－a＝(x＋a)(x－1)，令f(x)＝t，则函数g(x)＝f[f(x)]可化为y＝f(t)，令f(t)＝0，解得t1＝1或t2＝－a，即f(x)＝1或f(x)＝－a，因为函数g(x)＝f[f(x)]有且仅有两个零点，所以f(x)＝1与f(x)＝－a共有两个不同的实数解，f(x)＝－a可化为x2＋(a－1)x＝0，即f(x)＝－a的根为x1＝0或x2＝1－a，要使得f(x)＝1与f(x)＝－a共有两个不同的实数解，则两方程的根必须相同．即－a＝1时，才可以使得f(x)＝－a的两根与f(x)＝1的两个根相同，实数a的取值集合为{－1}．20．已知过A(0,2)的动圆恒与x轴相切，设切点为B，AC是该圆的直径．(1)求C点轨迹E的方程；(2)当AC不在y轴上时，设直线AC与曲线E交于另一点P，该曲线在P处的切线与直线BC交于Q点．求证：△PQC恒为直角三角形．解(1)设C点坐标为(x，y)，则B点坐标为x2，0.因为AC是直径，所以BA⊥BC，或C，B均在坐标原点，因此BA→·BC→＝0，而BA→＝－x2，2，BC→＝x2，y，故有－x24＋2y＝0，即x2＝8y.另一方面，设Cx0，x208是曲线x2＝8y上一点，则有|AC|＝x20＋x208－22＝x20＋168，AC中点的纵坐标为2＋x2082＝x20＋1616＝|AC|2，故以AC为直径的圆与x轴相切．综上可知，C点轨迹E的方程为x2＝8y.(2)证明：设直线AC的方程为y＝kx＋2，由y＝kx＋2，x2＝8y得x2－8kx－16＝0，设C(x1，y1)，P(x2，y2)，则有x1x2＝－16.由y＝x28，对x求导知y′＝x4，从而曲线E在P处的切线斜率k2＝x24，直线BC的斜率k1＝x218x1－x12＝x14，于是k1k2＝x1x216＝－1616＝－1.因此QC⊥PQ，所以△PQC恒为直角三角形．21．已知函数f(x)＝aelnx和g(x)＝12x2－(a＋e)x(a0)．(1)设h(x)＝f(x)＋g(x)，求函数h(x)的单调区间；(2)当x∈e2，＋∞时，M为函数f(x)＝aelnx图象与函数m(x)＝2－ex图象的公共点，且在点M处有公共切线，求点M的坐标及实数a的值．解(1)h(x)＝aelnx＋12x2－(a＋e)x(x0)，h′(x)＝aex＋x－(a＋e)＝x2－a＋ex＋aex＝x－ax－ex.①当0ae时，在x∈(0，a)时，h′(x)0，函数h(x)在(0，a)上单调递增，在x∈(a，e)时，h′(x)0，函数h(x)在(a，e)上单调递减；在x∈(e，＋∞)时，h′(x)0，函数h(x)在(e，＋∞)上单调递增．②当a＝e时，在x∈(0，＋∞)时，h′(x)≥0，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增．③当ae时，在x∈(0，e)时，h′(x)0，函数h(x)在(0，e)上单调递增，在x∈(e，a)时，h′(x)0，函数h(x)在(e，a)上单调递减；在x∈(a，＋∞)时，h′(x)0，函数h(x)在(a，＋∞)上单调递增．综上：当0ae时，函数h(x)的单调递增区间是(0，a)和(e，＋∞)；单调递减区间是(a，e)；当a＝e时，函数h(x)的单调增区间是(0，＋∞)；当ae时，函数h(x)的单调递增区间是(0，e)和(a，＋∞)，单调递减区间是(e，a)．(2)设点M(x0，y0)，x0e2，在点M(x0，y0)处有公共切线，设切线斜率为k，因为f′(x)＝aex，m′(x)＝ex2，所以k＝aex0＝ex20，即ax0＝1，由M(x0，y0)是函数f(x)＝aelnx与函数m(x)＝2－ex图象的公共点，所以y0＝aelnx0＝2－ex0，化简可得aex0lnx0＝2x0－e，将ax0＝1代入，得elnx0－2x0＋e＝0，设函数u(t)＝elnt－2t＋ete2，u′(t)＝et－2＝e－2tt.因为te2，u′(t)0，函数u(t)在e2，＋∞上单调递减，因为ue2＝elne20，u(e2)＝elne2－2e2＋e＝3e－2e2＝e(3－2e)0，所以在t∈e2，＋∞时，u(t)＝elnt－2t＋e只有一个零点．由u(e)＝elne－2e＋e＝0，知方程elnx0－2x0＋e＝0在x0∈e2，＋∞上只有一个实数根为x0＝e，代入y0＝aelnx0＝aelne＝ae＝1，所以M(e,1)，此时a＝1e.本课结束