2020届高考数学大二轮复习 冲刺经典专题 第一编 讲方法 第4讲 转化与化归的思想课件 文

第4讲转化与化归的思想第一编讲方法「思想方法解读」转化与化归思想是指在研究解决数学问题时，采用某种手段将问题通过转化，使问题得以解决的一种思维策略，其核心是把复杂的问题化归为简单的问题，将较难的问题化归为较容易求解的问题，将未能解决的问题化归为已经解决的问题．常见的转化与化归思想应用具体表现在：将抽象函数问题转化为具体函数问题，立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形问题，以及“至少”或“是否存在”等正向思维受阻问题转化为逆向思维问题，空间与平面的转化，相等问题与不等问题的转化等．1热点题型探究PARTONE热点1特殊与一般的转化例1(1)过抛物线y＝ax2(a0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则1p＋1q等于()A．2aB.12aC．4aD.4a答案C解析抛物线y＝ax2(a0)的标准方程为x2＝1ay(a0)．焦点F0，14a，取过焦点F的直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝12a，所以1p＋1q＝4a.(2)在平行四边形ABCD中，|AB→|＝12，|AD→|＝8.若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC→，则AM→·NM→＝()A．20B．15C．36D．6答案C解析解法一：由BM→＝3MC→，DN→＝2NC→知，点M是BC的一个四等分点，且BM＝34BC，点N是DC的一个三等分点，且DN＝23DC，所以AM→＝AB→＋34AD→，AN→＝AD→＋DN→＝AD→＋23AB→，所以NM→＝AM→－AN→＝AB→＋34AD→－AD→＋23AB→＝13AB→－14AD→，所以AM→·NM→＝AB→＋34AD→·13AB→－14AD→＝13AB→＋34AD→·AB→－34AD→＝13AB→2－916AD→2＝13144－916×64＝36，故选C.解法二：不妨设∠DAB为直角，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M(12,6)，N(8,8)，所以AM→＝(12,6)，NM→＝(4，－2)，所以AM→·NM→＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.一般问题特殊化，使问题处理变的直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果．对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案．1．(2019·甘青宁高三3月联考)若函数f(x)＝1＋x3，则f(lg2)＋flg12＝()A．2B．4C．－2D．－4答案A解析∵f(x)＝1＋x3，∴f(－x)＋f(x)＝2，∵lg12＝－lg2，∴f(lg2)＋flg12＝2，故选A.2．(2019·济南市高三3月模拟)已知函数f(x)＝13x3－12x2，x＜0，ex，x≥0，则f(3－x2)f(2x)的解集为()A．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B．(－3,1)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D．(－1,3)答案B解析当x0时，f(x)＝13x3－12x2，f′(x)＝x2－x，∵x0，∴f′(x)0，f(x)单调递增，且x→0时，f(x)→0，∴f(x)0；当x≥0时，f(x)＝ex单调递增，且f(x)≥f(0)＝1.因此可得f(x)在整个定义域上单调递增，∴f(3－x2)f(2x)可转化为3－x22x.解得－3x1，故选B.热点2函数、方程、不等式间的转化例2(1)已知函数f(x)＝x＋4x，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈12，3，∃x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1]B．[1，＋∞)C．(－∞，0]D．[0，＋∞)答案C解析当x∈12，3时，f(x)≥2x·4x＝4，当且仅当x＝2时等号成立，此时f(x)min＝4.当x∈[2,3]时，g(x)min＝22＋a＝4＋a.依题意f(x)min≥g(x)min，∴a≤0.选C.(2)(2019·河南十所名校高三第二次联考)已知函数f(x)＝ax(x2－1)＋x(a0)，方程f[f(x)]＝b对于任意b∈[－1,1]都有9个不等实根，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞)B．(2，＋∞)C．(3，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析∵f(x)＝ax(x2－1)＋x(a0)，∴f′(x)＝3ax2＋(1－a)．若a≤1，则f′(x)≥0，f(x)单调递增，此时方程f[f(x)]＝b不可能有9个不等实根，故a1.令f′(x)＝0，得x＝±a－13a，不妨令x1＝－a－13a，x2＝a－13a.∵当a1时，a－13a，∴－1x10，0x21.f(－x)＝a(－x)·[(－x)2－1]＋(－x)＝－[ax(x2－1)＋x]＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，又函数f(x)过定点(1,1)，(－1，－1)和(0,0)，则作出函数f(x)的大致图象如图所示．令f(x)＝t，方程f(t)＝b对于任意b∈[－1,1]都有9个不等实根，即方程f(x)＝t1，f(x)＝t2，f(x)＝t3，一共有9个不等实根，∴f(x)在极小值点处的函数值小于－1，即fa－13a＝23(1－a)a－13a－1，即(a－4)(2a＋1)20，解得a4，故实数a的取值范围为(4，＋∞)．故选D.函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简，常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题，将方程的求解问题转化为函数的零点问题．1．(2019·安徽马鞍山二次质检)已知函数f(x)＝x＋(2－kx)ex(x0)，若f(x)0的解集为(a，b)，且(a，b)中恰有两个整数，则实数k的取值范围为()A.－∞，1e2B.1e4＋12，1e3＋23C.1e3＋23，1e2＋1D.1e2＋1，1e＋2答案C解析f(x)＝x＋(2－kx)ex0⇒x(kx－2)ex⇒xexkx－2，设g(x)＝xex(x0)，h(x)＝kx－2，问题就转化为在(a，b)内，g(x)h(x)，且(a，b)中恰有两个整数．先研究函数g(x)的单调性，g′(x)＝1－xex(x0)，当x1时，g′(x)0，所以函数g(x)在(1，＋∞)上单调递减；当0x1时，g′(x)0，所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，所以g(x)max＝g(1)＝1e.注意到g(0)＝0，当x0时，g(x)0.h(x)＝kx－2，恒过(0，－2)，要想在(a，b)内，g(x)h(x)，且(a，b)中恰有两个整数，必须要满足以下两个条件：g2＞h2，g3≤h3⇒k＜1e2＋1，k≥1e3＋23⇒1e3＋23≤k＜1e2＋1，故选C.2．已知a＝13ln94，b＝45ln54，c＝14ln4，则()A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．b＜c＜a答案B解析a＝13ln94＝13ln322＝23ln32＝ln3232，b＝45ln54＝ln5454，c＝14ln4＝14×2ln2＝ln22.故构造函数f(x)＝lnxx，则a＝f32，b＝f54，c＝f(2)．因为f′(x)＝1－1·lnxx2＝1－lnxx2，由f′(x)＝0，解得x＝e.故当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，e]上单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，函数f(x)在[e，＋∞)上单调递减．因为54＜32＜2＜e，所以f54＜f32＜f(2)，即b＜a＜c，故选B.热点3正难则反的转化例3(1)(2019·湖南邵阳高三10月大联考)若命题“∃x0∈R，x20＋2mx0＋m＋20”为假命题，则m的取值范围是()A．(－∞，－1]∪[2，＋∞)B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C．[－1,2]D．(－1,2)答案C解析若命题“∃x0∈R，x20＋2mx0＋m＋20”为假命题，则命题等价于∀x∈R，x2＋2mx＋m＋2≥0恒成立，故只需要Δ＝4m2－4(m＋2)≤0⇒－1≤m≤2.故选C.(2)已知函数f(x)＝ax2－x＋lnx在区间(1,2)上不单调，则实数a的取值范围为________．答案0，18解析f′(x)＝2ax－1＋1x.(ⅰ)若函数f(x)在区间(1,2)上单调递增，则f′(x)≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax－1＋1x≥0，得a≥121x－1x2.①令t＝1x，因为x∈(1,2)，所以t＝1x∈12，1.设h(t)＝12(t－t2)＝－12t－122＋18，t∈12，1，显然函数y＝h(t)在区间12，1上单调递减，所以h(1)＜h(t)＜h12，即0＜h(t)＜18.由①可知，a≥18.(ⅱ)若函数f(x)在区间(1,2)上单调递减，则f′(x)≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax－1＋1x≤0，得a≤121x－1x2.②结合(ⅰ)可知，a≤0.综上，若函数f(x)在区间(1,2)上单调，则实数a的取值范围为(－∞，0]∪18，＋∞.所以若函数f(x)在区间(1,2)上不单调，则实数a的取值范围为0，18.正与反的转化法正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．1．若抛物线y＝x2上的所有弦都不能被直线y＝k(x－3)垂直平分，则k的取值范围是()A.－∞，12B.－∞，12C.－12，＋∞D.－12，＋∞答案D解析当k＝0时，显然符合题意．当k≠0时，设抛物线y＝x2上两点A(x1，x21)，B(x2，x22)关于直线y＝k(x－3)对称，AB的中点为P(x0，y0)，则x0＝x1＋x22，y0＝x21＋x222.由题设知x21－x22x1－x2＝－1k，所以x1＋x22＝－12k.又AB的中点P(x0，y0)在直线y＝k(x－3)上，所以x21＋x222＝kx1＋x22－3＝－6k＋12，所以中点P－12k，－6k＋12.由于点P在yx2的区域内，则－6k＋12－12k2，整理得(2k＋1)(6k2－2k＋1)0，解得k－12.因此当k－12时，抛物线y＝x2上存在两点关于直线y＝k(x－3)对称，于是当k≥－12时，抛物线y＝x2上不存在两点关于直线y＝k(x－3)对称．所以实数k的取值范围为－12，＋∞.故选D.2．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c，使得f(c)＞0，则实数p的取值范围是________．答案－3，32解析若在区间[－1,1]内不存在c满足f(c)＞0，因为Δ＝36p2≥0恒成立，则f－1≤0，f1≤0，解得p≤－12或p≥1，p≤－3或p≥32.所以p≤－3或p≥32，取补集得－3＜p＜32，即满足题意的实数p的取值范围是－3，32.热点4形体位置关系的转化例4(1)(2